На поверхности длинного сплошного непроводящего цилиндра радиуса \(r\) равномерно распределён заряд, поверхностная плотность которого \(\sigma\). Внешнее однородное магнитное поле индукции \(B\) направлено вдоль оси цилиндра. Определите угловую скорость вращения цилиндра после «выключения» внешнего поля. Плотность вещества цилиндра \(\rho\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Момент инерции единицы длины сплошного цилиндра \(J'=\frac12(\rho\pi r^2)r^2=\frac12\rho\pi r^4\). На поверхности \(2\pi r E= -\pi r^2\dot B_{\text{полн}}\), \(E=-(r/2)\dot B_{\text{полн}}\). Момент на заряд единицы длины \(2\pi r\sigma\):
\[ M' =2\pi r\sigma\cdot E\cdot r=-\pi r^3\sigma\dot B_{\text{полн}}. \]Уравнение вращения: \(\frac12\rho\pi r^4\dot\omega=-\pi r^3\sigma\dot B_{\text{полн}}\), или
\[ \frac12\rho r\dot\omega+\sigma\dot B_{\text{полн}}=0. \]Полное поле внутри — внешнее плюс поле поверхностного тока \(K=\sigma\omega r\):
\[ B_{\text{полн}}=B_{\text{вн}}+\mu_0\sigma\omega r. \]Подставляем и интегрируем от \(B_{\text{вн}}=B\), \(\omega=0\) до \(B_{\text{вн}}=0\), \(\omega=\omega\):
\[ \omega=\frac{2\sigma B}{r(\rho+2\mu_0\sigma^2)}. \]