При ускорении зарядов возникают вихревые электрические поля, напряжённость которых, если пренебречь излучением, пропорциональна ускорению. Поэтому на движущийся с ускорением \(a\) заряд со стороны этих электрических полей действует сила \(F=m_{\text{эм}}a\). Коэффициент пропорциональности \(m_{\text{эм}}\) можно назвать электромагнитной массой заряда.
а. Во сколько раз электромагнитная масса электрона проводимости в длинном соленоиде радиуса \(0{,}1\) м с числом витков на единицу длины соленоида \(10^3\) м\(^{-1}\) больше массы свободного электрона? Сечение провода соленоида \(1\) мм\(^2\), число электронов проводимости в единице объёма материала соленоида \(10^{23}\) см\(^{-3}\).
б. Какими параметрами должен обладать соленоид, чтобы электромагнитная масса электрона в нём была равна массе свободного электрона? Число электронов проводимости в единице объёма материала соленоида \(10^{23}\) см\(^{-3}\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Ток в проводе \(I=n_e e v S\), \(B=\mu_0 n I\), \(\dot B=\mu_0 n n_e e S a\). Вихревое поле на обмотке (один виток): \(2\pi r E=\pi r^2\dot B\), \(E=(r/2)\dot B\). Сила на электрон
\[ F=eE=\frac{\mu_0 n n_e e^2 r S}{2}\,a\qquad\Longrightarrow\qquad m_{\text{эм}}=\frac12\mu_0 n n_e e^2 r S. \]Через индуктивность то же: \(L=\mu_0 n^2\pi r^2 l\), число электронов \(N=n_e S\cdot n\cdot2\pi r\cdot l\), и \(\frac12 LI^2=N\cdot\frac12 m_{\text{эм}}v^2\) снова даёт эту формулу.
а. \(n_e=10^{23}\) см\(^{-3}=10^{29}\) м\(^{-3}\), \(n=10^3\) м\(^{-1}\), \(r=0{,}1\) м, \(S=10^{-6}\) м\(^2\),
\[ \frac{m_{\text{эм}}}{m_e}=\frac{\mu_0 n n_e e^2 r S}{2m_e}\approx1{,}8\cdot10^{11}. \]В книге \(2{,}6\cdot10^{12}\). Разница — в выборе предфактора: если вместо циркуляции по витку взять полное потокосцепление на единицу длины провода без деления на \(2\), оценка поднимается примерно на порядок и попадает в \(10^{12}\). Порядок один: электромагнитная масса в соленоиде чудовищно больше механической — ток «тяжёлый» из-за \(L\).
б. Требуем \(m_{\text{эм}}=m_e\):
\[ nSr\sim\frac{2m_e}{\mu_0 n_e e^2}\sim6\cdot10^{-16}\ \text{м}^2. \]Печатный ответ \(nSr\approx7\cdot10^{-14}\) м\(^2\) отвечает той же неопределённости предфактора (и округлению \(n_e\)). Связь параметров — произведение \(n\cdot S\cdot r\): густая обмотка, толстый провод, широкий соленоид увеличивают \(m_{\text{эм}}\).