Определите электромагнитную массу плоского конденсатора ёмкости \(C\), заряженного до потенциала \(V\), при равномерно ускоренном движении его вдоль пластин.
К задаче 11.2.20. Конденсатор разгоняется вдоль пластин с ускорением \(a\); движущиеся обкладки несут ток \(\sigma v\), и вектор Пойнтинга даёт импульс \(p=m_{\text{эм}}v\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Заряженные пластины едут вдоль себя — на них ток \(\sigma v\), между ними есть и \(E\), и \(B\). Импульс поля \(\int[\mathbf{E}\times\mathbf{B}]/\mu_0c^2\) пропорционален \(v\); коэффициент и есть \(m_{\text{эм}}\).
Поле в конденсаторе \(E=V/d=\sigma/\varepsilon_0\). Движение вдоль пластин со скоростью \(v\) даёт поверхностный ток \(K=\sigma v\), между пластинами \(B=\mu_0\sigma v\) (два листа). Плотность импульса поля
\[ g=\varepsilon_0[\mathbf{E}\times\mathbf{B}]=\varepsilon_0 E\cdot\mu_0\sigma v=\varepsilon_0\mu_0\sigma E v. \]
Объём \(Ad\), полный импульс
\[ p=gAd=\varepsilon_0\mu_0\sigma E\cdot Ad\cdot v. \]
Но \(\sigma E Ad=(\varepsilon_0 E^2)Ad=CV^2\)? Аккуратнее: \(C=\varepsilon_0 A/d\), \(E=V/d\), \(\sigma=\varepsilon_0 V/d\),
\[ p=\varepsilon_0\mu_0\cdot\varepsilon_0\frac Vd\cdot\frac Vd\cdot Ad\cdot v=\varepsilon_0\mu_0 C V^2 v. \]
Заметьте: энергия поля \(U=CV^2/2\), и \(m_{\text{эм}}=2U/c^2\), не \(U/c^2\). У «электромагнитной массы» конденсатора лишняя двойка — типичная история с полем в плоской геометрии (как у \(E^2\) против \(EB\)).
Проверка. Размерность: \(C V^2/c^2=\text{Дж}/c^2=\text{кг}\). Для \(C=1\) мкФ, \(V=1\) кВ: \(m_{\text{эм}}=10^{-6}\cdot10^6/(9\cdot10^{16})\sim10^{-17}\) кг — ничто. Чтобы электромагнитная масса стала граммами, нужны мегаджоули в поле. При \(v\to0\) импульс поля исчезает, как и должно.