Эксперименты на встречных электрон-электронных пучках показали, что заряд электрона распределён в области, размеры которой меньше \(10^{-18}\) м. Оцените верхний предел электромагнитной массы электрона.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Для шара радиуса \(r\) с зарядом \(e\)
\[ U\sim\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r},\qquad m_{\text{эм}}\sim\frac{U}{c^2}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 rc^2} \](коэффициент \(1\), \(3/5\) или \(2/3\) зависит от распределения — для оценки не важен). Классический радиус электрона \(r_0=e^2/(4\pi\varepsilon_0 m_ec^2)=2{,}8\cdot10^{-15}\) м как раз делает \(m_{\text{эм}}=m_e\). Здесь \(r<10^{-18}\) м — в \(2{,}8\cdot10^3\) раз меньше, поэтому
\[ m_{\text{эм}}\gtrsim m_e\cdot\frac{r_0}{10^{-18}}\sim9\cdot10^{-31}\cdot3\cdot10^3\sim3\cdot10^{-27}\ \text{кг}. \]Верхний предел размера даёт нижний предел массы поля, если заряд правда размазан по этой области. Но условие просит «верхний предел электромагнитной массы»: имея в виду, что заряд не может сидеть в ещё меньшем объёме, иначе \(m_{\text{эм}}\) уже превосходила бы всё, что мы знаем. Оценка книги \(\approx10^{-27}\) кг — тот же порядок.
На самом деле электрон точечный в смысле \(r\ll r_0\), и его наблюдаемая масса не электромагнитная: расходимость «голой» массы поля перенормируют. Задача просит именно классическую оценку.