Индукция магнитного поля внутри цилиндра радиуса 8 см возрастает со временем по закону \(B=\alpha t^2\) (коэффициент \(\alpha=10^{-4}\) Тл/с\(^2\)). Магнитное поле направлено вдоль оси цилиндра. Чему равна напряжённость вихревого электрического поля на расстоянии \(l=0{,}1\) м от оси цилиндра в момент времени \(t_1=1\) с? \(t_2=4\) с?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Радиус цилиндра \(r=0{,}08\) м, точка снаружи (\(l=0{,}1>r\)). Поток через контур радиуса \(l\) равен \(\Phi=B\pi r^2=\alpha t^2\pi r^2\),
\[ 2\pi l E=\pi r^2\cdot2\alpha t\qquad\Longrightarrow\qquad E=\frac{r^2\alpha t}{l}. \]В момент \(t_1=1\) с
\[ E_1=\frac{(0{,}08)^2\cdot10^{-4}\cdot1}{0{,}1}=\frac{6{,}4\cdot10^{-7}}{0{,}1}=6{,}4\cdot10^{-6}\ \text{В/м}. \]В момент \(t_2=4\) с поле вчетверо больше: \(E_2=2{,}56\cdot10^{-5}\) В/м.
Внутри цилиндра, напомним, было бы \(E=\dot B\cdot x/2=\alpha t x\). Наша точка снаружи, поэтому вместо \(x\) в числителе стоит \(r^2/l\) — поток «не чувствует» лишней площади. Если бы нас спросили про точку на оси, ответ был бы нуль: окружность нулевого радиуса, циркуляция тождественно нуль.
Линии \(E\) — окружности, сонаправленные (при \(\dot B>0\)) против правого винта вокруг \(B\). Вектор \(\mathbf{E}\) сам по себе не потенциален: обойти цилиндр по большому кругу и вернуться — потенциал не определен, работа \(e\cdot 2\pi l E\neq0\).