Савченко · Глава 11. Электромагнитная индукция · § 11.2. Вихревое электрическое поле

Савченко, задача 11.2.5

Задача 11.2.5две плоскости с \(\dot j\)

Условие

По двум бесконечным параллельным плоскостям текут одинаковые по модулю и противоположные по направлению токи. Линейная плотность этих токов изменяется по закону \(j=\alpha t\). Найдите распределение напряжённости вихревого электрического поля между этими плоскостями.

К задаче 11.2.5. Между листами \(B=\mu_0 j\); вихревое \(E\) линейно растёт от средней плоскости.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Два встречных токовых листа дают между собой однородное \(B=\mu_0 j\), снаружи — нуль. Меняющийся \(B\) рождает вихревое \(E\), параллельное токам и нечётное относительно средней плоскости.

Один лист даёт \(B=\mu_0 j/2\) с каждой стороны. Два встречных листа: между ними поля складываются, \(B=\mu_0 j=\mu_0\alpha t\), снаружи уничтожаются. Тогда \(\dot B=\mu_0\alpha\).

Симметрия: \(E\) направлено вдоль токов (иначе нарушится отражение), и \(E(-x)=-E(x)\), если \(x=0\) — средняя плоскость (иначе появится выделенное «лево»). Берём прямоугольный контур: длина \(L\) вдоль \(E\), ширина от \(-x\) до \(x\). Циркуляция \(2EL\), поток \(\dot B\cdot 2x L=\mu_0\alpha\cdot 2x L\):

\[ 2EL=\mu_0\alpha\cdot 2x L\qquad\Longrightarrow\qquad E=\mu_0\alpha x. \]

На средней линии \(E=0\), к каждой пластине поле растёт линейно. Снаружи \(\dot B=0\) и по той же симметрии \(E=\text{const}=0\).

Проверка. Это «плоский соленоид»: внутри \(B\) однородно, \(E\) растёт от середины, как внутри цилиндрического соленоида \(E\) растёт от оси. Размерность: \(\mu_0\cdot(\text{А/м·с})\cdot\text{м}=\text{Тл·м/с}=\text{В/м}\). Если \(\alpha=0\), токи постоянны, вихревого поля нет.

Ответ\(E=\mu_0\alpha x\), где \(x\) — расстояние от средней линии.

Следующая задача 11.2.6 →