Через соленоид длины \(l_0=20\) см и радиуса \(r=2\) см течёт синусоидальный ток \(I=I_0\sin(2\pi\nu t)\), где \(I_0=10\) А, \(\nu=50\) Гц. Число витков в соленоиде \(n_0=200\). Найдите распределение напряжённости вихревого электрического поля внутри соленоида. Какой амплитуды напряжение создаёт это поле в катушке длины \(l=5\) см и радиуса \(r=1\) см, помещённой внутрь соленоида вдоль его оси? Число витков в этой катушке \(n=100\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Число витков на единицу длины большого соленоида \(n_0/l_0\). Индукция
\[ B=\mu_0\frac{n_0}{l_0}I_0\sin(2\pi\nu t). \]Внутри на расстоянии \(x\) от оси \(2\pi x E=\pi x^2\dot B\),
\[ E=\frac x2\dot B=\frac{\mu_0\pi\nu n_0 I_0}{l_0}\,x\cos(2\pi\nu t). \]Амплитуда напряжения на маленькой катушке: поток через один её виток \(\Phi_1=B\cdot\pi r_{\text{м}}^2\), \(r_{\text{м}}=1\) см,
\[ \mathcal{E}_m=n\cdot\pi r_{\text{м}}^2\cdot(\dot B)_{\max} =n\cdot\pi r_{\text{м}}^2\cdot\mu_0\frac{n_0}{l_0}I_0\cdot2\pi\nu. \]Числа: \(\mu_0 n_0 I_0\cdot2\pi\nu/l_0=4\pi\cdot10^{-7}\cdot200\cdot10\cdot2\pi\cdot50/0{,}20=3{,}95\) Тл/с,
\[ \mathcal{E}_m=100\cdot\pi\cdot10^{-4}\cdot3{,}95\approx0{,}124\ \text{В}\approx0{,}12\ \text{В}. \]Маленькая катушка короче большого соленоида (5 см против 20), но сидит глубоко внутри, где краевыми полями можно пренебречь. Если бы её выдвинули к торцу, \(\dot B\) упал бы примерно вдвое, и амплитуда тоже.