а. В контур, имеющий вид окружности и находящийся в однородном магнитном поле, включены два конденсатора ёмкости \(C_1\) и \(C_2\). Контур соединяют по диаметру перемычкой — проводником \(ab\). Определите заряд на обкладках конденсаторов, если скорость изменения магнитного потока через контур равна \(\varphi\).
б\(^*\). Чему был бы равен заряд на обкладках дополнительного конденсатора ёмкости \(C_3\), включённого так, как изображено на рисунке?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Поток через каждую полуокружность меняется со скоростью \(\varphi/2\). Обход «дуга \(C_1\) + перемычка \(ab\)» даёт
\[ \frac{q_1}{C_1}=\frac{\varphi}{2}\qquad\Longrightarrow\qquad q_1=C_1\frac{\varphi}{2}. \]Аналогично \(q_2=C_2\varphi/2\). Перемычка идеальна, падения на ней нет; конденсаторы друг о друге «не знают».
б. Теперь в перемычке сидит \(C_3\). Обозначим напряжения \(V_i=q_i/C_i\). Для верхней половины \(V_1+V_3=\varphi/2\), для нижней \(V_2-V_3=\varphi/2\) (обход нижней полупетли идёт по \(C_3\) в обратную сторону). Заряд: с верхней обкладки \(C_3\) уходит то, что пришло с \(C_1\) и не ушло на \(C_2\),
\[ q_3=q_1-q_2. \]Тогда \(C_1 V_1-C_2 V_2=C_3 V_3\). Решая с двумя уравнениями на циркуляции:
\[ V_1=\frac{\varphi}{2}-V_3,\qquad V_2=\frac{\varphi}{2}+V_3, \] \[ C_1\Bigl(\frac{\varphi}{2}-V_3\Bigr)-C_2\Bigl(\frac{\varphi}{2}+V_3\Bigr)=C_3 V_3, \] \[ \frac{\varphi}{2}(C_1-C_2)=V_3(C_1+C_2+C_3), \] \[ q_3=C_3 V_3=\frac{C_3(C_1-C_2)}{C_1+C_2+C_3}\cdot\frac{\varphi}{2}. \]В книге стоит \((C_2-C_1)\) — это выбор, какую обкладку назвать положительной. Модуль тот же: \(q_3=C_3|C_2-C_1|\varphi/[2(C_1+C_2+C_3)]\).