На оси тонкой проводящей цилиндрической оболочки радиуса \(r_1\) расположен провод радиуса \(r_2\), магнитная проницаемость которого \(\mu_1\). Пространство между ними заполнено веществом с магнитной проницаемостью \(\mu_2\). Найдите индуктивность линии на единицу длины. Ток в проводе равномерно распределён по сечению, равен по модулю и противоположен по направлению току цилиндрической оболочки.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Внутри жилы, \(r<r_2\), охвачен ток \(I\cdot(\pi r^2/\pi r_2^2)\):
\[ B_1(r)=\frac{\mu_1\mu_0 I r}{2\pi r_2^2}. \]В зазоре, \(r_2<r<r_1\), охвачен весь ток жилы:
\[ B_2(r)=\frac{\mu_2\mu_0 I}{2\pi r}. \]Снаружи \(B=0\). Энергия единицы длины внутри жилы
\[ w_1=\int_0^{r_2}\frac{B_1^2}{2\mu_1\mu_0}\,2\pi r\,dr=\frac{\mu_1\mu_0 I^2}{16\pi}. \]Это даёт внутреннюю индуктивность \(L'_1=2w_1/I^2=\mu_1\mu_0/(8\pi)\). Энергия зазора
\[ w_2=\int_{r_2}^{r_1}\frac{B_2^2}{2\mu_2\mu_0}\,2\pi r\,dr=\frac{\mu_2\mu_0 I^2}{4\pi}\ln\frac{r_1}{r_2}, \] \[ L'_2=\frac{\mu_2\mu_0}{2\pi}\ln\frac{r_1}{r_2}. \]Складываем:
\[ L'=\frac{\mu_0}{4\pi}\Bigl(\frac{\mu_1}{2}+2\mu_2\ln\frac{r_1}{r_2}\Bigr)=\frac{\mu_0}{8\pi}\Bigl(\mu_1+4\mu_2\ln\frac{r_1}{r_2}\Bigr). \]В печатном ответе в скобках стоит \(\mu_1\) без половины — забыт коэффициент потокосцепления внутри провода (в поток на радиусе \(r\) входит лишь ток, текущий внутри этой трубки). Правильный внутренний вклад — \(\mu_1\mu_0/8\pi\).