Двухпроводная линия состоит из двух коаксиальных тонких цилиндрических оболочек радиуса \(r_1\) и \(r_2\) (\(r_1<r_2\)). Пространство между ними заполнено веществом с магнитной проницаемостью \(\mu\). Найдите индуктивность линии на единицу длины. По оболочкам текут равные по модулю, но противоположно направленные токи.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Теорема о циркуляции в веществе с проницаемостью \(\mu\): \(\oint\mathbf{H}\,d\mathbf{l}=I_{\text{охв}}\), \(B=\mu\mu_0 H\). Для окружности радиуса \(r\)
\[ B(r)=\begin{cases} 0, & r<r_1,\\ \dfrac{\mu\mu_0 I}{2\pi r}, & r_1<r<r_2,\\ 0, & r>r_2. \end{cases} \]Поток через прямоугольник «длина 1 м \(\times\) зазор \(r_1\to r_2\)» (это сечение, которое пронизывает ток внутренней трубы):
\[ \Phi'=\int_{r_1}^{r_2}B(r)\,dr=\frac{\mu\mu_0 I}{2\pi}\ln\frac{r_2}{r_1}. \]Значит, индуктивность единицы длины
\[ L'=\frac{\Phi'}{I}=\frac{\mu\mu_0}{2\pi}\ln\frac{r_2}{r_1}. \]Через энергию то же самое: \(w=\int B^2/(2\mu\mu_0)\cdot 2\pi r\,dr=(\mu\mu_0 I^2/4\pi)\ln(r_2/r_1)=L'I^2/2\). Эта формула — рабочая лошадка радиотехники: ею считают коаксиальный кабель, разъёмы, даже вакуумные вводы. Волновое сопротивление коаксиала \(Z=\sqrt{L'/C'}=(1/(2\pi))\sqrt{\mu\mu_0/(\varepsilon\varepsilon_0)}\,\ln(r_2/r_1)\); для вакуума и \(r_2/r_1=e\) как раз выходит \(60\) Ом.