Найдите индуктивность на единицу длины двухпроводной линии. Линия состоит из двух параллельных прямых проводов радиуса \(r\), расстояние между осевыми линиями которых \(h\gg r\). По проводам текут равные по модулю, но противоположно направленные токи. Магнитного поля внутри проводов нет.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Поле прямого провода на расстоянии \(\rho\) от его оси \(B_1=\mu_0 I/(2\pi\rho)\), поле обратного — такое же по модулю. На перемычке между проводами оба поля смотрят в одну сторону (правое правило: из страницы / в страницу). Поток на единицу длины
\[ \Phi'=\int_r^{h-r}\bigl(B_1+B_2\bigr)\,d\rho=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\int_r^{h-r}\Bigl(\frac{1}{\rho}+\frac{1}{h-\rho}\Bigr)d\rho=\frac{\mu_0 I}{\pi}\ln\frac{h-r}{r}. \]При \(h\gg r\) можно заменить \(h-r\) на \(h\):
\[ L'=\frac{\Phi'}{I}=\frac{\mu_0}{\pi}\ln\frac{h}{r}. \]Внутренней индуктивности нет — поле внутри проводов по условию выключено (сверхпроводник или скин-эффект на высокой частоте). На постоянном токе в меди добавилось бы ещё \(2\cdot\mu_0/(8\pi)=\mu_0/(4\pi)\approx0{,}1\) мкГн/м — поправка к логарифму, малая при \(h\gg r\). Инженеры часто пишут \(L'=(\mu_0/\pi)\ln(h/r-1)\) или с более точным \(\mathrm{Arch}(h/2r)\); при \(h/r=200\) разница с нашим \(\ln(h/r)\) на уровне процента.