Все размеры проводника увеличили в \(k\) раз. Во сколько раз изменится индуктивность проводника?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Аккуратно. По определению \(L=\Phi/I\). Поле \(B\) создаётся током: по закону Био—Савара \(B\sim\mu_0 I/(\text{расстояние})\). Все расстояния выросли в \(k\) раз, ток тот же — поле в соответствующих точках упало в \(k\) раз. Площадь контура выросла в \(k^2\) раз. Поток \(\Phi=\int B\,dS\) изменился в \(k^{-1}\cdot k^2=k\) раз. Следовательно,
\[ L' = k L. \]То же из энергии. Объём, занятый полем, вырос в \(k^3\), плотность энергии \(B^2/2\mu_0\) упала в \(k^2\), полная энергия \(W=LI^2/2\) выросла в \(k\) раз — снова \(L'=kL\).
Примеры. Соленоид: \(L=\mu_0 n^2 V\). Число витков на единицу длины \(n\) падает в \(k\) раз (шаг обмотки растёт), объём растёт в \(k^3\), итого \(L\sim k^{-2}\cdot k^3=k\). Прямой провод длины \(\ell\): \(L\sim(\mu_0\ell/2\pi)\ln(\ell/r)\), логарифм не меняется (отношение длин), предлог \(\ell\) даёт множитель \(k\). Рамка площади \(S\) с периметром \(P\): \(L\sim\mu_0 P\ln(P/\sqrt{S})\), снова всё линейные размеры, снова \(k\).
Важное исключение, которое сюда не относится: если увеличить только число витков, не трогая каркас, \(L\) растёт как \(N^2\). Это уже не подобное преобразование геометрии, а смена «начинки».