Короткий соленоид радиуса \(R\) расположен вокруг длинного соленоида радиуса \(r\). Оси соленоидов совпадают. Число витков на единицу длины длинного соленоида \(n\), число витков короткого соленоида \(N\). Через короткий соленоид течёт ток \(I=I_0\sin\omega t\). Определите напряжение на концах длинного соленоида.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Найдём взаимную индуктивность. Пусть по длинному соленоиду течёт ток \(I'\). Его поле \(B=\mu_0 n I'\) существует только внутри него, в цилиндре радиуса \(r\). Короткий соленоид этот цилиндр охватывает: через каждый из \(N\) витков короткого проходит поток \(B\cdot\pi r^2\) (снаружи длинного поля нет, и «лишняя» площадь короткого витка, кольцо \(r<\rho<R\), потока не даёт). Значит
\[ L_{12}=L_{21}=\mu_0\pi r^2 n N. \]Теперь ток течёт в коротком: \(I=I_0\sin\omega t\). Поток через длинный соленоид равен \(L_{12}I\), и напряжение на его концах
\[ \mathcal{E}=-\frac{d\Phi}{dt}=-L_{12}I_0\omega\cos\omega t. \]Модуль (то, что обычно называют «напряжением на концах»)
\[ V=\mu_0\pi r^2 n N\,\omega I_0\cos\omega t. \]Знак косинуса фиксирует фазу: напряжение опережает ток короткого на \(\pi/2\), как и должно быть у чисто индуктивной связи.