а. Чему равна индуктивность соленоида радиуса \(r\) и длины \(l\gg r\)? Число витков на единицу длины соленоида \(n\).
б. Получите формулу для индуктивности соленоида, не пренебрегая влиянием на индуктивность массы электрона \(m_e\). Сечение провода соленоида \(S\), число электронов проводимости в единице объёма проводника \(n_e\). Можно ли пренебречь этим влиянием на индуктивность катушек, используемых в радиотехнике?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Поле внутри \(B=\mu_0 n I\), снаружи почти нуль. Поток через один виток \(B\cdot\pi r^2\), витков \(N=nl\), полное потокосцепление
\[ \Psi=nl\cdot\mu_0 n I\cdot\pi r^2=\mu_0\pi r^2 n^2 l\,I, \] \[ L=\mu_0\pi r^2 n^2 l=\mu_0 n^2 V, \]где \(V=\pi r^2 l\) — объём соленоида. Тот же ответ даёт энергия: \(W=B^2 V/(2\mu_0)=LI^2/2\).
б. На электрон в проводе действует электрическое поле \(E\) (от внешнего напряжения) и поле самоиндукции, пропорциональное \(\dot I\). Уравнение движения
\[ e\Bigl(E-\frac{L}{\ell}\frac{dI}{dt}\Bigr)=m_e\frac{dv}{dt}, \]где \(\ell=2\pi r N\) — длина провода. Ток связан со скоростью дрейфа: \(I=e n_e S v\), поэтому \(dv/dt=\dot I/(e n_e S)\). Умножим уравнение движения на \(\ell\) и подставим:
\[ E\ell=V=\Bigl(L+\frac{m_e\ell}{e^2 n_e S}\Bigr)\frac{dI}{dt}. \]Величина в скобках и есть «полная» индуктивность, которую «видит» внешняя цепь:
\[ L_1=L+\frac{m_e\ell}{e^2 n_e S}. \]Оценка для радиотехнической катушки. Пусть \(\ell\sim10\) м, \(S\sim10^{-7}\) м\(^2\), \(n_e\sim10^{29}\) м\(^{-3}\) (медь). Тогда добавка
\[ \frac{m_e\ell}{e^2 n_e S}\sim\frac{9\cdot10^{-31}\cdot10}{(1{,}6\cdot10^{-19})^2\cdot10^{29}\cdot10^{-7}}\sim10^{-10}\ \text{Гн}, \]тогда как сама \(L\) у радиокатушки — микрогенри и больше. Добавкой можно пренебречь.