Внутренний радиус обмотки длинного соленоида \(r_1=0{,}05\) м, внешний радиус \(r_2=0{,}1\) м, число витков на единицу длины соленоида \(n=10\,000\). Определите индуктивность единицы длины соленоида.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
На единицу длины соленоида. Внутри полости, \(r<r_1\), контур охватывает весь ток \(nI\), поэтому
\[ B_0=\mu_0 n I. \]В слое обмотки, \(r_1\le r\le r_2\), плотность витков по сечению постоянна, и доля охваченного тока равна доле площади кольца:
\[ B(r)=\mu_0 n I\cdot\frac{r_2^2-r^2}{r_2^2-r_1^2}. \]Снаружи, \(r>r_2\), охваченный ток нуль, \(B=0\).
Энергия на единицу длины \(w=\displaystyle\int\dfrac{B^2}{2\mu_0}\,2\pi r\,dr\). В полости
\[ w_1=\frac{B_0^2}{2\mu_0}\cdot\pi r_1^2=\frac{\mu_0 n^2 I^2}{2}\pi r_1^2. \]В слое после интегрирования \((r_2^2-r^2)^2\) получается
\[ w_2=\frac{\mu_0 n^2 I^2}{2}\cdot\pi\cdot\frac{r_2^2-r_1^2}{3}. \](Интеграл \(\int_{r_1}^{r_2}(r_2^2-r^2)^2 r\,dr/(r_2^2-r_1^2)^2=(r_2^2-r_1^2)/6\), и с множителем \(2\pi/\mu_0\cdot(\mu_0 n I)^2/2\) даёт написанное.) Полная энергия \(w=w_1+w_2=L'I^2/2\), откуда индуктивность единицы длины
\[ L'=\mu_0\pi n^2\cdot\frac{r_1^2+r_1 r_2+r_2^2}{3}. \]Числа: \(r_1=0{,}05\) м, \(r_2=0{,}1\) м, \(n=10^4\) м\(^{-1}\),
\[ L'=\mu_0\pi\cdot10^8\cdot\frac{0{,}0025+0{,}005+0{,}01}{3}=4\pi\cdot10^{-7}\cdot\pi\cdot10^8\cdot0{,}00583\approx2{,}3\ \text{Гн/м}. \]