Батарея без внутреннего сопротивления подключена к соленоиду индуктивности \(L\). Определите зависимость тока в цепи от времени, если ЭДС батареи \(\mathcal{E}\). Найдите работу батареи за время \(\tau\). В какой вид энергии превращается эта работа?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Уравнение цепи
\[ \mathcal{E}=L\frac{dI}{dt}. \]При \(I(0)=0\)
\[ I(t)=\frac{\mathcal{E}t}{L}. \]Работа батареи за время \(\tau\) — это интеграл мощности \(\mathcal{E}I\):
\[ A=\int_0^\tau\mathcal{E}I(t)\,dt=\mathcal{E}\cdot\frac{\mathcal{E}}{L}\int_0^\tau t\,dt=\frac{\mathcal{E}^2\tau^2}{2L}. \]К этому моменту ток равен \(I(\tau)=\mathcal{E}\tau/L\), и энергия магнитного поля катушки
\[ W=\frac{LI^2}{2}=\frac{L}{2}\Bigl(\frac{\mathcal{E}\tau}{L}\Bigr)^2=\frac{\mathcal{E}^2\tau^2}{2L}=A. \]Вся работа батареи превратилась в энергию магнитного поля. Тепла нет: сопротивлений в цепи нет, а батарея идеальная. Если смотреть с точки зрения зарядов: батарея проталкивает заряд \(q=\int I\,dt=\mathcal{E}\tau^2/(2L)\) при постоянном напряжении \(\mathcal{E}\), работа \(\mathcal{E}q\) — ровно \(A\). Катушка «не сопротивляется» мгновенно, но копит импульс тока, как масса копит скорость под постоянной силой: \(I\leftrightarrow v\), \(L\leftrightarrow m\), \(\mathcal{E}\leftrightarrow F\).