Как должно меняться напряжение в электрической цепи, состоящей из последовательно соединённых катушки индуктивности \(L\) и сопротивления \(R\), чтобы ток в ней: а) линейно возрастал: \(I=\alpha t\)? б) менялся синусоидально: \(I=I_0\sin\omega t\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Правило Кирхгофа для цепи:
\[ V(t)=RI+L\frac{dI}{dt}. \]а. \(I=\alpha t\), \(\dot I=\alpha\):
\[ V=\alpha Rt+\alpha L=\alpha(Rt+L). \]Напряжение растёт линейно, но стартует не с нуля, а с «ступеньки» \(\alpha L\): катушка сразу требует постоянное напряжение \(L\dot I\), а резистор добавляет нарастающее \(RI\).
б. \(I=I_0\sin\omega t\), \(\dot I=I_0\omega\cos\omega t\):
\[ V=I_0 R\sin\omega t+I_0 L\omega\cos\omega t=I_0\bigl(R\sin\omega t+\omega L\cos\omega t\bigr). \]Это синусоида той же частоты со сдвигом фазы \(\varphi=\mathrm{arctg}(\omega L/R)\) вперёд относительно тока (ток отстаёт от напряжения, как и положено в индуктивной цепи). Амплитуда \(V_0=I_0\sqrt{R^2+\omega^2 L^2}\). В комплексной записи \(\dot V=I_0 e^{j\omega t}(R+j\omega L)\), модуль и аргумент — ровно эти \(V_0\) и \(\varphi\). Пункт (а) — предельный случай «очень медленного» синуса: за интересующее нас время \(\omega t\ll 1\), косинус ещё не успел изогнуться, и остаётся линейный рост плюс постоянная «инерции» катушки.