Найдите максимальный ток в катушках индуктивности \(L_1\) и \(L_2\) после замыкания ключа \(K\) в цепи, изображённой на рисунке. Ёмкость конденсатора \(C\), начальное напряжение на нём \(V\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
После замыкания ключа \(L_1\dot I_1=L_2\dot I_2=q/C\). При нулевых начальных токах
\[ L_1 I_1=L_2 I_2\qquad\Longrightarrow\qquad\frac{I_1}{I_2}=\frac{L_2}{L_1}. \]Суммарный ток \(I=I_1+I_2\) разряжает конденсатор: \(\dot q=-I\). Эквивалентная индуктивность параллельных катушек
\[ L_{\text{эк}}=\frac{L_1 L_2}{L_1+L_2}, \]и \(I_{\max}=V\sqrt{C/L_{\text{эк}}}=V\sqrt{C(L_1+L_2)/(L_1 L_2)}\). Делим пропорционально \(1/L\):
\[ I_{1\text{макс}}=I_{\max}\cdot\frac{L_2}{L_1+L_2}=V\sqrt{\frac{C L_2}{L_1(L_1+L_2)}}, \] \[ I_{2\text{макс}}=V\sqrt{\frac{C L_1}{L_2(L_1+L_2)}}. \]Энергетическая проверка: \(CV^2/2=L_1 I_1^2/2+L_2 I_2^2/2\) вместе с \(L_1 I_1=L_2 I_2\) даёт те же формулы. Можно думать и так: параллельные катушки — это один контур с \(L_{\text{эк}}\), ток \(I\) делится обратно пропорционально \(L\), как в обычном токоделении для индуктивностей (в установившемся синусе — обратно \(X_L\), здесь то же из \(L\dot I\) общего).