Источник с ЭДС \(\mathcal{E}\) и нулевым внутренним сопротивлением в момент времени \(t=0\) подключают к последовательно соединённым катушке индуктивности \(L\) и конденсатору ёмкости \(C\). Найдите максимальный ток в цепи и максимальный заряд конденсатора.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Кирхгоф:
\[ L\ddot q+\frac{q}{C}=\mathcal{E}. \]Общее решение: \(q=EC+A\cos\omega t+B\sin\omega t\), \(\omega=1/\sqrt{LC}\). Начальные условия \(q(0)=0\), \(I(0)=\dot q(0)=0\) дают \(A=-EC\), \(B=0\):
\[ q(t)=EC\bigl(1-\cos\omega t\bigr),\qquad I(t)=EC\omega\sin\omega t. \]Отсюда
\[ q_{\max}=2EC,\qquad I_{\max}=EC\omega=\mathcal{E}\sqrt{\frac{C}{L}}. \]Энергетически: батарея, пока заряд растёт до \(2EC\), совершает работу \(\mathcal{E}\cdot 2EC=2\mathcal{E}^2 C\). Из них \(q_{\max}^2/(2C)=2\mathcal{E}^2 C\) сидит на конденсаторе в верхней точке (ток нуль), а в средней точке \(q=EC\), \(C U_C^2/2=\mathcal{E}^2 C/2\) на конденсаторе и \(LI_{\max}^2/2=\mathcal{E}^2 C/2\) в катушке — сумма снова \(\mathcal{E}^2 C\), а батарея к этому моменту отдала \(\mathcal{E}\cdot EC=\mathcal{E}^2 C\). Всё сходится. «Лишняя» относительно статического заряда \(EC\) энергия качается между \(L\) и \(C\), как у маятника, которому дали толчок от стенки: он уходит на ту же амплитуду по другую сторону.