а. В какой момент искрит рубильник — при замыкании или при размыкании? Почему искрение прекращается, если параллельно рубильнику включить конденсатор?
б. Какой ёмкости конденсатор нужно подсоединить параллельно катушке индуктивности \(L\), чтобы при размыкании ключа напряжение на ней не увеличилось более чем в \(N\) раз, если частота напряжения в цепи \(\nu\)? Определите эту ёмкость в случае \(\nu=50\) Гц, \(L=0{,}1\) Гн, \(N=10\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. При размыкании. Замыкание катушке нипочём: ток нарастает плавно. Размыкание пытается оборвать ток, \(\dot I\) огромна, между расходящимися ножами рубильника возникает дуга. Если параллельно рубильнику (или катушке) стоит конденсатор, в момент разрыва ток катушки перехватывает конденсатор: цепь LC остаётся замкнутой, напряжение на зазоре растёт не мгновенно, а как в колебательном контуре, и до пробоя воздуха может не дойти. Искра гаснет.
б. До размыкания ток через катушку в сети частоты \(\nu\) имеет амплитуду \(I_0=V_0/(\omega L)\) (активным сопротивлением пренебрегаем, \(\omega=2\pi\nu\)). После размыкания энергия \(LI_0^2/2\) становится энергией конденсатора \(C V_{\max}^2/2\):
\[ V_{\max}=I_0\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{V_0}{\omega L}\sqrt{\frac{L}{C}}=\frac{V_0}{\omega\sqrt{LC}}. \]Требуем \(V_{\max}\le N V_0\), то есть \(1/(\omega\sqrt{LC})\le N\):
\[ C\ge\frac{1}{\omega^2 N^2 L}=\frac{1}{(2\pi\nu N)^2 L}. \]Числа: \(\nu=50\) Гц, \(L=0{,}1\) Гн (в условии опечатка «0,1 Гц»), \(N=10\):
\[ C=\frac{1}{(2\pi\cdot50\cdot10)^2\cdot0{,}1}=\frac{1}{(3142)^2\cdot0{,}1}\approx1{,}0\cdot10^{-6}\ \text{Ф}=1\ \text{мкФ}. \]