Савченко · Глава 11. Электромагнитная индукция · § 11.4. Электрические цепи переменного тока

Савченко, задача 11.4.7

Задача 11.4.7переключение LC на R

Условие

В изображённой на рисунке цепи конденсатор ёмкости \(C\) заряжен до напряжения \(V_0\). Сначала замыкают ключ \(K_1\). В момент, когда ток через катушку индуктивности \(L\) достигает своего максимального значения, замыкают ключ \(K_2\) и размыкают ключ \(K_1\). Каким оказывается наибольшее значение напряжения на сопротивлении \(R\)?

К задаче 11.4.7. Два такта: разряд C на L, затем L на R.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Когда ток в катушке максимален, вся энергия конденсатора уже сидит в магнитном поле, заряд конденсатора нуль. В этот миг катушку отключают от \(C\) и подключают к \(R\): ток не может скакнуть, поэтому напряжение на резисторе в первый момент равно \(I_{\max}R\).

Первый такт (\(K_1\) замкнут). Обычный LC-контур с начальным зарядом \(q_0=CV_0\):

\[ I(t)=V_0\sqrt{\frac{C}{L}}\sin\omega_0 t,\qquad\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}. \]

Максимум тока \(I_{\max}=V_0\sqrt{C/L}\) достигается при \(\omega_0 t=\pi/2\), когда \(q=0\). Энергия: \(CV_0^2/2=LI_{\max}^2/2\).

Второй такт. \(K_1\) разомкнули, \(K_2\) замкнули. Катушка и резистор образуют RL-цепь с начальным током \(I_{\max}\). Напряжение на резисторе \(V_R=IR\), и оно максимально в первый момент (дальше ток затухает как \(e^{-(R/L)t}\)):

\[ V_{\text{макс}}=I_{\max}R=V_0 R\sqrt{\frac{C}{L}}. \]

Проверка. Размерность: \(R\sqrt{C/L}\) безразмерна (это \(R/\rho\), где \(\rho=\sqrt{L/C}\) — волновое сопротивление контура), поэтому \(V_{\text{макс}}\) — вольты. Если \(R=\sqrt{L/C}\), напряжение на резисторе равно исходному \(V_0\). Если \(R\) очень мало, \(V_R\) мало — почти короткое замыкание катушки, ток живёт долго. Скачка тока в момент переключения нет: катушка это запрещает, напряжение на \(R\) возникает сразу.

Ответ\(V_{\text{макс}}=V_0 R\sqrt{C/L}\).

Следующая задача 11.4.8 →