В цепи, состоящей из заряженного конденсатора ёмкости \(C_0\) и катушки индуктивности \(L\), замыкают ключ \(K\). По какому закону должна изменяться во времени ёмкость конденсатора, чтобы ток в цепи нарастал прямо пропорционально времени?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Кирхгоф (ток разряда \(I=-\dot q\), \(I(0)=0\)):
\[ L\frac{dI}{dt}=\frac{q}{C}. \]Хотим \(I=\alpha t\), тогда \(\dot I=\alpha=\mathrm{const}\) и \(q/C=L\alpha=\mathrm{const}\). Заряд
\[ q(t)=q_0-\int_0^t I\,dt=q_0-\frac{\alpha t^2}{2}. \]Начальная ёмкость \(C(0)=C_0\), \(q_0=C_0\cdot(q/C)=C_0 L\alpha\), откуда \(\alpha=q_0/(LC_0)\). Поэтому
\[ C(t)=\frac{q(t)}{L\alpha}=\frac{q_0-\alpha t^2/2}{q_0/C_0}=C_0\Bigl(1-\frac{t^2}{2LC_0}\Bigr). \]Ёмкость надо уменьшать по параболе — например, раздвигая пластины плоского конденсатора или выкручивая переменный конденсатор по заранее рассчитанному закону. Закон работает, пока \(C>0\), то есть до \(t=\sqrt{2LC_0}\). К этому моменту заряд как раз кончается, ток равен \(I_{\max}=q_0\sqrt{2/(LC_0)}\). Дальше конденсатор «закончился»: либо пластины ушли на бесконечность, либо надо остановиться. Энергия к этому мигу \(LI_{\max}^2/2=q_0^2/C_0=C_0 V_0^2\) — вдвое больше исходной \(C_0 V_0^2/2\). Откуда добавка? Мы совершаем работу, раздвигая пластины в поле конденсатора: внешние силы и дают недостающий вклад.