В схеме, изображённой на рисунке, в момент времени \(t=0\) замыкают ключ \(K\). Определите ток в цепи, если источник даёт: а) постоянное напряжение \(V_0\); б) косинусоидальное напряжение \(V_0\cos\omega t\). Определите максимальный ток, если \(V_0=100\) В, \(L=10^{-2}\) Гн, \(C=10^{-3}\) Ф, \(\nu=\omega/2\pi=50\) Гц.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Как в 11.4.9, \(q=V_0 C(1-\cos\omega_0 t)\), \(\omega_0=1/\sqrt{LC}\),
\[ I=V_0\sqrt{\frac{C}{L}}\sin\omega_0 t. \]б. Уравнение \(L\ddot q+q/C=V_0\cos\omega t\). Частное решение \(q_{\text{ч}}=V_0\cos\omega t\big/\bigl(L(\omega_0^2-\omega^2)\bigr)\). Общее:
\[ q=A\cos\omega_0 t+B\sin\omega_0 t+\frac{V_0\cos\omega t}{L(\omega_0^2-\omega^2)}. \]Из \(q(0)=0\): \(A=-V_0\big/\bigl(L(\omega_0^2-\omega^2)\bigr)\). Из \(I(0)=0\): \(B=0\). Ток
\[ I=\frac{V_0}{L(\omega_0^2-\omega^2)}\bigl(\omega_0\sin\omega_0 t-\omega\sin\omega t\bigr). \]При \(\omega\approx\omega_0\) это биения. Разность синусов даёт огибающую с максимумом
\[ I_{\max}\approx\frac{V_0}{L\,|\omega-\omega_0|}. \]Числа: \(\omega_0=1/\sqrt{10^{-2}\cdot10^{-3}}=10^{2{,}5}\approx316{,}2\) рад/с, \(\omega=2\pi\cdot50\approx314{,}2\) рад/с, \(|\omega-\omega_0|\approx2{,}0\) рад/с,
\[ I_{\max}\approx\frac{100}{10^{-2}\cdot2{,}0}=5{,}0\cdot10^3\ \text{А}\approx4{,}8\ \text{кА}. \]