а. На векторной диаграмме ток \(I=I_0\cos\omega t\) определяется как проекция на ось \(x\) вектора \(\mathbf{I}_0\), который вращается вокруг точки \(O\) с угловой скоростью \(\omega\). Как расположены на этой же диаграмме векторы падения напряжения при протекании этого тока через сопротивление \(R\), катушку индуктивности \(L\) и конденсатор ёмкости \(C\)? Чему равны амплитуды векторов напряжения?
б. Используя векторную диаграмму, определите падение напряжения в цепи последовательно соединённых катушки индуктивности \(L\), сопротивления \(R\) и конденсатора ёмкости \(C\) и сдвиг фаз между током и напряжением в цепи, если ток в цепи меняется косинусоидально: \(I=I_0\cos\omega t\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Ток \(I=I_0\cos\omega t\) — проекция вектора \(\mathbf{I}_0\), лежащего в момент \(t=0\) вдоль оси \(x\) и вращающегося против часовой стрелки.
На резисторе \(V_R=RI=RI_0\cos\omega t\) — тот же закон, вектор \(\mathbf{V}_R\) сонаправлен с \(\mathbf{I}_0\), длина \(RI_0\).
На катушке \(V_L=L\dot I=-I_0\omega L\sin\omega t=I_0\omega L\cos(\omega t+\pi/2)\): вектор \(\mathbf{V}_L\) повёрнут на \(+90^\circ\) относительно \(\mathbf{I}_0\) (опережает), длина \(\omega L I_0\).
На конденсаторе \(V_C=q/C=I_0\sin\omega t/(\omega C)=I_0\cos(\omega t-\pi/2)/(\omega C)\): вектор \(\mathbf{V}_C\) повёрнут на \(-90^\circ\) (отстаёт), длина \(I_0/(\omega C)\).
б. В последовательной RLC-цепи \(\mathbf{V}_0=\mathbf{V}_R+\mathbf{V}_L+\mathbf{V}_C\). \(\mathbf{V}_L\) и \(\mathbf{V}_C\) смотрят в противоположные стороны, их разность \(\bigl(\omega L-1/(\omega C)\bigr)I_0\) перпендикулярна \(\mathbf{V}_R\). Гипотенуза
\[ V_0=I_0\sqrt{R^2+\Bigl(\omega L-\frac{1}{\omega C}\Bigr)^2}. \]Сдвиг фаз между напряжением и током (напряжение опережает ток, если \(\omega L>1/(\omega C)\)):
\[ \varphi=\mathrm{arctg}\frac{\omega L-1/(\omega C)}{R}. \]Мгновенное напряжение \(V=V_0\cos(\omega t+\varphi)\).