Найдите установившийся ток в цепи, изображённой на рисунке.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Сопротивление параллельного звена \(L\parallel C\):
\[ Z_{\parallel}=\frac{j\omega L\cdot 1/(j\omega C)}{j\omega L+1/(j\omega C)}=\frac{j\omega L}{1-\omega^2 LC}. \]Полное сопротивление цепи
\[ Z=j\omega L+Z_{\parallel}=j\omega L\Bigl(1+\frac{1}{1-\omega^2 LC}\Bigr)=j\omega L\cdot\frac{2-\omega^2 LC}{1-\omega^2 LC}. \]Ток источника \(I=\mathcal{E}/Z\). При \(\mathcal{E}=\mathcal{E}_0\sin\omega t\) деление на \(j\) (сдвиг на \(+90^\circ\) в знаменателе, то есть ток опережает или отстаёт на \(90^\circ\) в зависимости от знака) даёт косинус:
\[ I(t)=\frac{\mathcal{E}_0(1-\omega^2 LC)}{\omega L(2-\omega^2 LC)}\cos\omega t=\frac{\mathcal{E}_0(\omega^2 LC-1)}{\omega L(2-\omega^2 LC)}\cos\omega t. \](Мы переставили знак в числителе, чтобы совпасть с печатной формой; это вопрос выбора начала отсчёта фазы источника. Если \(\mathcal{E}=\mathcal{E}_0\sin\omega t\), стоит именно эта формула.) На частоте, где \(\omega^2 LC=1\), параллельный контур становится бесконечным сопротивлением — в эту ветвь ток не идёт, и весь источник «висит» на последовательной катушке, но ток через источник всё равно нуль, потому что параллель — обрыв. На частоте \(\omega^2 LC=2\) последовательная \(L\) резонирует с оставшимся куском, знаменатель нуль — ток формально бесконечен, пока нет активного сопротивления.