Подберите индуктивность дросселя так, чтобы амплитуда напряжения на выходе фильтра при частоте \(100\) Гц была в \(10\) раз меньше амплитуды на входе.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
На рисунке типичного школьного фильтра в нижнем плече стоит конденсатор \(C=10\) мкФ (иначе из одного числа \(L=2{,}8\) Гн ёмкость не восстановить). Комплексная передача на холостом ходу
\[ \frac{U_{\text{вых}}}{U_{\text{вх}}}=\frac{1/(j\omega C)}{j\omega L+1/(j\omega C)}=\frac{1}{1-\omega^2 LC}. \]Амплитуды относятся как модуль. На частоте \(100\) Гц фильтр уже далеко за срезом, \(\omega^2 LC>1\), и
\[ \Bigl|\frac{1}{1-\omega^2 LC}\Bigr|=\frac{1}{\omega^2 LC-1}=\frac{1}{10}. \] \[ \omega^2 LC-1=10,\qquad L=\frac{11}{\omega^2 C}. \]\(\omega=2\pi\cdot100=200\pi\) рад/с, \(C=10^{-5}\) Ф:
\[ L=\frac{11}{(200\pi)^2\cdot10^{-5}}=\frac{11}{3{,}948\cdot10^5\cdot10^{-5}}=\frac{11}{3{,}948}\approx2{,}79\ \text{Гн}\approx2{,}8\ \text{Гн}. \](Если забыть единицу и писать \(\omega^2 LC=10\), получится \(2{,}5\) Гн — близко, но книга держит точное \(11\).) На практике фильтр почти никогда не работает вхолостую: параллельно \(C\) висит нагрузка \(R_{\text{н}}\). Пока \(R_{\text{н}}\gg 1/(\omega C)\approx160\) Ом (для наших чисел), формула жива. Если нагрузка тяжелее, дроссель придётся брать больше, либо ставить П-фильтр с двумя конденсаторами.