Найдите установившиеся токи в электрических цепях, изображённых на рисунке. Внутреннее сопротивление источников напряжения равно нулю. Определите среднюю мощность, выделяющуюся в цепях, если \(\mathcal{E}_0=200\) В, \(R=100\) Ом, \(C=10^{-4}\) Ф, \(L=1\) Гн. Частота напряжения источника \(\nu=\omega/2\pi=50\) Гц.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Схема (а). Перемычка замыкает катушку накоротко: \(L\,dI_L/dt=0\), значит \(I_L=\mathrm{const}\). В переменном установившемся режиме постоянная равна нулю (её нечем поддерживать):
\[ I_L=0,\qquad I_R=\frac{\mathcal{E}_0}{R}\sin\omega t. \]Тепло только на резисторе:
\[ N=\bigl\langle I_R^2 R\bigr\rangle=\frac{\mathcal{E}_0^2}{2R}=\frac{200^2}{2\cdot100}=200\ \text{Вт}. \]Схема (б). Резистор снова параллелен источнику, поэтому \(I_R\) и мощность те же: \(I_R=(\mathcal{E}_0/R)\sin\omega t\), \(N=200\) Вт. Средняя ветвь — катушка \(L=1\) Гн — сидит прямо на источнике (её концы на клеммах \(\mathcal{E}\)), ток через неё \(I_L=-(\mathcal{E}_0/\omega L)\cos\omega t\). Конденсатор включён так, что его напряжение есть разность \(\mathcal{E}-V_L\) в одном контуре и в переходном плюс вынужденном режиме при замыкании ключа в \(t=0\) (нулевой начальный заряд) получается
\[ V_C=\mathcal{E}_0(\cos\omega t-\sin\omega t). \]Тогда
\[ I_C=C\dot V_C=-\mathcal{E}_0\omega C(\sin\omega t+\cos\omega t). \]Числа: \(\omega=100\pi\approx314\) рад/с, \(\omega C\approx0{,}0314\) См, амплитуда \(I_C\) порядка \(200\cdot0{,}0314\cdot\sqrt{2}\approx9\) А — на резистор не влияет, тепло по-прежнему только \(I_R^2 R\).