Последовательно с электроплиткой в городскую сеть подключили катушку индуктивности. При этом мощность плитки упала в два раза. Найдите индуктивность катушки, если активное сопротивление плитки \(50\) Ом.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Без катушки \(P_0=V^2/R\). С катушкой ток \(I=V/\sqrt{R^2+\omega^2 L^2}\), мощность
\[ P=I^2 R=\frac{V^2 R}{R^2+\omega^2 L^2}. \]По условию \(P=P_0/2\):
\[ \frac{V^2 R}{R^2+\omega^2 L^2}=\frac{V^2}{2R}\qquad\Longrightarrow\qquad R^2+\omega^2 L^2=2R^2\qquad\Longrightarrow\qquad\omega L=R. \] \[ L=\frac{R}{\omega}=\frac{50}{2\pi\cdot50}=\frac{1}{2\pi}\approx0{,}159\ \text{Гн}\approx0{,}16\ \text{Гн}. \]Ток при этом падает не в \(\sqrt{2}\), а тоже в \(\sqrt{2}\): \(I=V/Z=V/(R\sqrt{2})\), и \(I^2\) — вдвое, мощность — вдвое. Косинус \(\varphi\) равен \(1/\sqrt{2}\), так что «лишняя» кажущаяся мощность сети — реактивная, счётчик её (старый индукционный) почти не видит.
Городская сеть — \(50\) Гц (это не сказано явно, но иначе \(L\) не вычислить, и ответ книги \(0{,}16\) Гн как раз \(1/(2\pi)\)). Зачем так делают на практике? Дроссель почти не ест среднюю мощность (в идеале реактивная мощность качается туда-сюда), вся «лишняя» энергия живёт в поле катушки. Реостат на ту же мощность \(P_0/2\) рассеял бы в себе столько же, сколько плитка, — вдвое хуже по КПД и по нагреву щитка. Поэтому для снижения мощности нагревателя на переменном токе дроссель выгоднее резистора. На постоянном токе этот фокус не работает: \(\omega=0\), катушка — просто кусок провода.