Начальное напряжение на конденсаторе ёмкости \(C_0\) равно \(V_0\), а конденсатор ёмкости \(C\) не заряжен. Через какое время после замыкания ключа \(K\) пробьётся конденсатор ёмкости \(C\), если его пробой происходит при напряжении \(V\)?
К задаче 11.4.20. Заряженный \(C_0\) соединяют с пустым \(C\) через \(L\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Последовательный контур из \(C_0\), \(L\) и \(C\). Напряжение на \(C\) нарастает как \(1-\cos\omega t\) и максимально равно \(2V_0 C_0/(C+C_0)\). Если порог пробоя ниже этого потолка — ловим момент арккосинусом; если выше — не пробивается никогда.
Кирхгоф: \(V_{C0}-V_C=L\dot I\). Заряд, ушедший с \(C_0\), равен заряду, пришедшему на \(C\):
Потолок: \(V_{C\text{макс}}=2V_0 C_0/(C+C_0)\). Если \(V>V_{C\text{макс}}\), конденсатор \(C\) не пробивается. Если \(V<V_{C\text{макс}}\), пробой в первый момент, когда \(V_C=V\):
Проверка. При \(C=C_0\) потолок равен \(V_0\): заряд делится поровну, но из-за инерции катушки пустой конденсатор на мгновение получает весь исходный заряд — как в задаче 11.4.9, только «батарея» сама разряжается. При \(C\to0\) потолок \(\to 2V_0\) (пустой конденсатор маленький, его легко перезарядить). При \(C\to\infty\) потолок \(\to0\): огромный конденсатор почти не меняет потенциал. Арккосинус определён, пока аргумент в \([-1,1]\), то есть как раз при \(V\le 2V_0 C_0/(C+C_0)\).
ОтветПри \(V<2V_0(1+C/C_0)^{-1}\): \(\tau=\dfrac1\omega\arccos\bigl[1-(1+C/C_0)V/V_0\bigr]\), \(\omega=\sqrt{(C+C_0)/(LCC_0)}\). При большем \(V\) пробоя нет.