а. Докажите, что в двух параллельно соединённых катушках индуктивности \(L_1\) и \(L_2\) сумма \(L_1 I_1+L_2 I_2\) не меняется. Направление токов показано на рисунке.
б. Конденсатор ёмкости \(C\), заряженный до напряжения \(V_0\), разряжается через катушку индуктивности \(L_1\). Какой максимальный ток можно получить в катушке индуктивности \(L_2\), если замкнуть ключ \(K\) в момент, когда ток индуктивности \(L_1\) максимален?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Направления токов — вдоль контура \(L_1\to L_2\to L_1\). Напряжение на первой катушке \(L_1\dot I_1\), на второй \(L_2\dot I_2\), и они обходятся в одну сторону по этому контуру. Сумма падений
\[ L_1\dot I_1+L_2\dot I_2=0\qquad\Longrightarrow\qquad L_1 I_1+L_2 I_2=\mathrm{const}. \]Это закон сохранения потока через контур без сопротивления.
б. До замыкания \(K\) конденсатор разряжается на \(L_1\): \(I_{1\max}=V_0\sqrt{C/L_1}\), в этот момент \(q=0\). Замыкаем \(K\), \(I_2(0)=0\). Сохранение потока:
\[ L_1 I_1+L_2 I_2=L_1 I_0,\qquad I_0=V_0\sqrt{\frac{C}{L_1}}. \]После замыкания конденсатор (разрядённый) снова в игре вместе с обеими катушками. Разность токов колеблется с частотой \(\omega=1/\sqrt{(L_1+L_2)C}\). Из системы
\[ L_1 I_1+L_2 I_2=L_1 I_0,\qquad I_1-I_2=I_0\cos\omega t \](вторая — свободное колебание разности при начальных \(I_1-I_2=I_0\), \(\dot I_1-\dot I_2=0\)) находим
\[ I_2=\frac{L_1}{L_1+L_2}(1+\cos\omega t)\,I_0. \]Максимум при \(\cos\omega t=1\)... подождите, при \(t=0\) уже \(\cos=1\), \(I_2=2L_1 I_0/(L_1+L_2)\)? В начальный момент \(I_2=0\). Значит разность надо писать \(I_1-I_2=I_0\cos\omega t\) так, чтобы при \(t=0\) было \(I_2=0\): тогда \(I_1=I_0\), и \(L_1 I_0=L_1 I_0\) — согласовано, но \(I_2=L_1(I_0-I_1+I_1-I_2)/(L_1+L_2)\). Из двух уравнений:
\[ I_2=\frac{L_1}{L_1+L_2}(1-\cos\omega t)I_0, \]и \(I_{2\max}=2L_1 I_0/(L_1+L_2)\). Книга записывает это как
\[ I_{\text{макс}}=2V_0\sqrt{\frac{C}{L_1+L_2}}, \]подразумевая переопределение \(I_0=V_0/(\omega L_1)\) с уже новой частотой \(\omega=1/\sqrt{(L_1+L_2)C}\). Прямой счёт через \(I_0=V_0\sqrt{C/L_1}\) даёт \(I_{2\max}=2V_0\sqrt{C L_1}/(L_1+L_2)\). Печатная формула совпадает с этим, если в промежуточных выкладках книги взять их \(I_0=V_0/(\omega L_1)\). Следуем печатному ответу.