Из-за наличия активного сопротивления проводов в колебательном контуре, состоящем из конденсатора ёмкости \(1\) мкФ и катушки индуктивности \(1\) мкГн, амплитуда тока за \(1\) мс уменьшилась в два раза. Определите сопротивление проводов.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Ток \(I(t)=I_m e^{-\gamma t}\sin(\omega't+\varphi)\), где \(\gamma=R/(2L)\). По условию за \(\tau=1\) мс амплитуда уменьшилась вдвое:
\[ e^{-\gamma\tau}=\frac12,\qquad\gamma\tau=\ln2,\qquad\frac{R}{2L}\tau=\ln2. \] \[ R=\frac{2L\ln2}{\tau}=\frac{2\cdot10^{-6}\cdot0{,}693}{10^{-3}}=1{,}39\cdot10^{-3}\ \text{Ом}\approx1{,}4\cdot10^{-3}\ \text{Ом}. \]Если пользоваться энергией: за время \(\tau\) амплитуда энергии (она квадратична по току) падает вчетверо, средняя мощность тепловыделения \(\langle RI^2\rangle\approx R I_m^2/2\) при медленно меняющейся огибающей. Интеграл даёт то же \(R\). Формула \(\gamma=R/(2L)\), а не \(R/L\), потому что энергия \(\propto I^2\), а амплитуда тока — корень из энергии.
Собственная частота \(\omega_0=1/\sqrt{LC}\). Здесь \(C=1\) мкФ \(=10^{-6}\) Ф, \(L=1\) мкГн \(=10^{-6}\) Гн, \(LC=10^{-12}\), \(\omega_0=10^6\) рад/с, период \(6\) мкс. За \(1\) мс проходит \(\sim160\) периодов, \(\gamma=693\) с\(^{-1}\ll\omega_0\) — затухание слабое, формула огибающей законна. Логарифмический декремент \(\lambda=\gamma T=\ln2\cdot T/\tau\approx0{,}004\), добротность \(Q=\pi/\lambda\approx700\). Такой контур — почти «вечный»: энергия за период падает на доли процента, и сопротивление действительно должно быть миллиомы, не омы.