В колебательном контуре, состоящем из последовательно соединённых сопротивления \(R\), катушки индуктивности \(L\) и конденсатора ёмкости \(C\), происходят затухающие колебания. За некоторое время амплитуда тока в контуре уменьшилась от значения \(I_1\) до значения \(I_2\). Какое количество теплоты выделилось за это время на сопротивлении?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Уравнение контура \(L\dot I+RI+q/C=0\). В момент максимума тока \(\dot I=0\), поэтому
\[ R I+\frac{q}{C}=0\qquad\Longrightarrow\qquad q=-CRI. \]Полная энергия в этот миг
\[ W=\frac{LI^2}{2}+\frac{q^2}{2C}=\frac{LI^2}{2}+\frac{C R^2 I^2}{2}=\frac12(L+CR^2)I^2. \]Пусть \(I_1\) и \(I_2\) — амплитуды тока, то есть как раз значения в соседних (или любых двух) максимумах. Выделенное тепло равно убыли энергии:
\[ W_{\text{тепл}}=\frac12(L+CR^2)\bigl(I_1^2-I_2^2\bigr). \]Член \(CR^2\) — это энергия, сидящая на конденсаторе даже в максимуме тока: из-за падения на \(R\) заряд не успевает быть нулём. При слабом затухании \(CR^2\ll L\) и остаётся привычное \(L(I_1^2-I_2^2)/2\). Другой путь к той же формуле: \(\mathrm{d}W=-RI^2\mathrm{d}t\), но интегрировать \(I^2(t)\) по куче периодов с медленной огибающей — дольше, а ответ обязан совпасть, потому что энергия — функция состояния и в точках \(\dot I=0\) выражается только через \(I\).