При распространении синусоидальных волн в бесконечной LC-цепочке фаза колебаний напряжения в каждом узле отстаёт на \(\varphi\) от фазы колебаний в предшествующем узле. Определите зависимость \(\varphi\) от \(\omega\), \(L\), \(C\). Чему равна скорость распространения синусоидальной волны по LC-цепочке, если длина ячейки \(l\)? Чему равна эта скорость при малых \(\omega\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Напряжение на \(n\)-м узле \(V_n\), ток через катушку, втекающий в этот узел, \(I_n\). Законы:
\[ L\dot I_n=V_{n-1}-V_n,\qquad C\dot V_n=I_n-I_{n+1}. \]Исключая токи, получаем
\[ LC\ddot V_n=V_{n-1}-2V_n+V_{n+1}. \]Ищем \(V_n=V_0\cos(\omega t-n\varphi)\). Вторая производная даёт \(-\omega^2 V_n\), правая часть — \(V_n\bigl(e^{j\varphi}+e^{-j\varphi}-2\bigr)=2V_n(\cos\varphi-1)=-4V_n\sin^2(\varphi/2)\). Отсюда
\[ \omega^2 LC=4\sin^2\frac{\varphi}{2}\qquad\Longrightarrow\qquad\varphi=2\arcsin\Bigl(\frac{\omega\sqrt{LC}}{2}\Bigr). \]Формула имеет смысл при \(\omega\le 2/\sqrt{LC}\) — это частота отсечки: более высокие частоты в цепочку не идут ( \(\varphi\) становится комплексным, волна затухает от ячейки к ячейке).
За период фаза в фиксированном узле меняется на \(2\pi\), а «пробегает» \(\omega/(2\pi)\) ячеек за секунду сдвиг на \(\varphi\) каждая. Фазовая скорость
\[ v=\frac{\omega l}{\varphi}\qquad\bigl(\omega<2/\sqrt{LC}\bigr). \]При малых частотах \(\omega\ll 1/\sqrt{LC}\) аргумент арксинуса мал, \(\varphi\approx\omega\sqrt{LC}\), и
\[ v\approx\frac{l}{\sqrt{LC}}. \]Это скорость волны в линии с погонной индуктивностью \(L/l\) и погонной ёмкостью \(C/l\): \(v=1/\sqrt{L'C'}\).