Генератор с ЭДС \(\mathcal{E}=\mathcal{E}_0\sin\omega t\) в момент \(t=0\) подключают к катушке индуктивности \(L\). Определите зависимость тока в цепи от времени. Активным сопротивлением цепи можно пренебречь. Объясните полученный результат.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Кирхгоф:
\[ L\frac{dI}{dt}=\mathcal{E}_0\sin\omega t\qquad\Longrightarrow\qquad I(t)=-\frac{\mathcal{E}_0}{\omega L}\cos\omega t+C. \]В момент включения ток ещё нуль (катушка ток не рвёт, но и из ничего его не создаёт): \(I(0)=0\), откуда \(C=\mathcal{E}_0/(\omega L)\). Итого
\[ I(t)=\frac{\mathcal{E}_0}{\omega L}\bigl(1-\cos\omega t\bigr). \]Что это значит. Если бы генератор работал на катушку «с незапамятных времён», ток был бы \(I=-(\mathcal{E}_0/\omega L)\cos\omega t\) — чисто переменный, среднее нуль. Но включение в \(t=0\) «замораживает» постоянную составляющую \(\mathcal{E}_0/(\omega L)\): катушка запомнила, что стартовала с нуля. Без сопротивления эта постоянная никуда не денется — не на чем затухнуть. Ток осциллирует от \(0\) до \(2\mathcal{E}_0/(\omega L)\) и в отрицательную сторону не ходит.
Энергия. Магнитная энергия пульсирует, среднее \(\langle LI^2/2\rangle=L\cdot\tfrac12\cdot 2(\mathcal{E}_0/\omega L)^2=\mathcal{E}_0^2/(\omega^2 L)\) — вдвое больше, чем в чисто переменном режиме, как раз за счёт «застывшего» тока.