Сквозь катушку сечения \(S\) и длины \(h\), изготовленную из сверхпроводящей проволоки, пролетает с постоянной скоростью сверхпроводящий стержень сечения \(\sigma\) и длины \(l\). Начертите график зависимости тока в катушке от положения стержня, если катушка замкнута накоротко и начальный ток в ней \(I_0\). Рассмотрите случаи: а) \(l>h\); б) \(l<h\). Краевыми эффектами пренебречь.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть \(x\) — координата переднего торца стержня, отсчитываемая от начала катушки. Без стержня потокосцепление \(\Psi=L_0 I_0\), где \(L_0=\mu_0 N^2 S/h\). Когда стержень перекрывает катушку на длине \(\xi\), эффективная площадь на этом участке \(S-\sigma\), и
\[ \Psi=\mu_0\frac{N}{h}I\bigl[(S-\sigma)\xi+S(h-\xi)\bigr]=\mu_0 N I\Bigl(S-\sigma\frac{\xi}{h}\Bigr). \]Приравнивая \(\Psi\) к начальному \(\mu_0 N I_0 S\), получаем
\[ I(x)=\frac{I_0}{1-\sigma\xi/(Sh)}, \]где длина перекрытия \(\xi=\xi(x)\) строится из геометрии.
а. Стержень длиннее катушки, \(l>h\).
\(\xi=0\) при \(x\le0\); \(\xi=x\) при \(0\le x\le h\); \(\xi=h\) при \(h\le x\le l\); \(\xi=l+h-x\) при \(l\le x\le l+h\); \(\xi=0\) при \(x\ge l+h\). Максимум — на плато полного перекрытия:
\[ I_{\text{макс}}=\frac{I_0}{1-\sigma/S}. \]б. Стержень короче катушки, \(l<h\).
\(\xi=x\) при \(0\le x\le l\); \(\xi=l\) при \(l\le x\le h\); \(\xi=l+h-x\) при \(h\le x\le h+l\). Стержень никогда не заполняет катушку целиком, и
\[ I_{\text{макс}}=\frac{I_0}{1-\sigma l/(Sh)}. \]График в обоих случаях — «трапеция» на пьедестале \(I_0\): линейный (по \(1/(1-k\xi)\), почти линейный при \(\sigma\ll S\)) подъём, полка, спад. Краевыми эффектами мы пренебрегли, поэтому изломы острые.