Савченко · Глава 11. Электромагнитная индукция · § 11.5. Сохранение магнитного потока. Сверхпроводники в магнитном поле

Савченко, задача 11.5.11

Задача 11.5.11соленоид в сверхпроводящей трубе

Условие

Вычислите индуктивность длинного соленоида радиуса \(r\) и длины \(\ell\), помещённого внутрь длинной сверхпроводящей трубы радиуса \(R\) вдоль её оси. Число витков соленоида \(N\).

_in r R труба зазор, B_заз Φ через трубу = 0

К задаче 11.5.11. Обратный поток идёт по зазору между соленоидом и трубой.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Сверхпроводящая труба не пускает поток наружу: суммарный поток через её сечение равен нулю. Обратный поток вынужден идти по зазору, он подмагничивает соленоид навстречу собственному полю и уменьшает индуктивность.

Пусть ток в соленоиде \(I\). Обозначим \(H_{\text{in}}\) напряжённость внутри обмотки и \(H_{\text{заз}}\) — в зазоре \(r<\rho<R\). Закон Ампера на прямоугольном контуре, проходящем внутри и в зазоре, даёт скачок

\[ H_{\text{in}}-H_{\text{заз}}=nI=\frac{NI}{\ell}. \]

Снаружи трубы поле равно нулю (экранировка). Поток через сечение трубы вморожен и изначально нулевой:

\[ \mu_0 H_{\text{in}}\cdot\pi r^2+\mu_0 H_{\text{заз}}\cdot\pi(R^2-r^2)=0, \] \[ H_{\text{in}}r^2+H_{\text{заз}}(R^2-r^2)=0\qquad\Longrightarrow\qquad H_{\text{заз}}=-H_{\text{in}}\frac{r^2}{R^2-r^2}. \]

Подставляем в амперов скачок:

\[ H_{\text{in}}\Bigl(1+\frac{r^2}{R^2-r^2}\Bigr)=\frac{NI}{\ell}\qquad\Longrightarrow\qquad H_{\text{in}}=\frac{NI}{\ell}\Bigl(1-\frac{r^2}{R^2}\Bigr). \]

Поток через один виток \(\Phi_1=\mu_0 H_{\text{in}}\pi r^2\), индуктивность

\[ L=\frac{N\Phi_1}{I}=\mu_0\pi r^2\Bigl(1-\frac{r^2}{R^2}\Bigr)\frac{N^2}{\ell}. \]

Множитель \(1-r^2/R^2\) — плата за обратный поток в зазоре. Чем теснее труба, тем сильнее «антиполе» и тем меньше \(L\).

Проверка. При \(R\to\infty\) зазор бесконечен, обратное поле расплывается, \(L\to\mu_0\pi r^2 N^2/\ell\) — обычный соленоид. При \(R\to r\) зазор схлопывается, \(L\to0\): потоку некуда деваться. Оба предела здравые.

Ответ\(L=\mu_0\pi r^2\bigl(1-r^2/R^2\bigr)N^2/\ell\).

Следующая задача 11.5.12 →