Плоская медная шина, сечение которой \(a\times h=100\times1\) мм, параллельна горизонтальной поверхности сверхпроводника. Какой ток нужно пропускать через шину, чтобы она не падала на сверхпроводник?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Шина широкая (\(a=100\) мм) и тонкая (\(h=1\) мм), поэтому ток можно считать поверхностным с линейной плотностью \(i=I/a\). Одиночный токовый слой даёт \(B=\mu_0 i/2\) по обе стороны. Изображение с током \(-i\) под плоскостью складывает поля в зазоре и вычитает снаружи:
\[ B_{\text{заз}}=\mu_0 i,\qquad B_{\text{сверху}}=0. \]Давление на шину снизу (поле есть только там)
\[ P=\frac{B_{\text{заз}}^2}{2\mu_0}=\frac{\mu_0 i^2}{2}. \]Оно направлено вверх — сверхпроводник отталкивает одноимённый (в смысле изображения — противоположный, а противоположные токи... подождите). Изображение несёт противоположный ток, противоположные токи отталкиваются? Нет: одноимённые притягиваются, противоположные отталкиваются. Да, отталкивание. Левитация!
Вес единицы площади шины \(\rho_{\mathrm{Cu}}gh\). Равенство давлений
\[ \frac{\mu_0 i^2}{2}=\rho_{\mathrm{Cu}}gh\qquad\Longrightarrow\qquad i=\sqrt{\frac{2\rho_{\mathrm{Cu}}gh}{\mu_0}}, \] \[ I=ai=a\sqrt{\frac{2\rho_{\mathrm{Cu}}gh}{\mu_0}}. \]Подставим \(\rho_{\mathrm{Cu}}=8{,}9\cdot10^3\) кг/м\(^3\), \(a=0{,}10\) м, \(h=1{,}0\cdot10^{-3}\) м, \(g=9{,}8\) м/с\(^2\), \(\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}\) Гн/м:
\[ \frac{2\rho gh}{\mu_0}=\frac{2\cdot8{,}9\cdot10^3\cdot9{,}8\cdot10^{-3}}{4\pi\cdot10^{-7}}=1{,}39\cdot10^8\ \frac{\text{А}^2}{\text{м}^2}, \] \[ i=1{,}18\cdot10^4\ \text{А/м},\qquad I=1{,}18\cdot10^3\ \text{А}\approx1{,}2\ \text{кА}. \]В книге напечатано 380 А — это \(1{,}2\text{ кА}/\pi\). Похоже на арифметическую опечатку: формула \(I=a\sqrt{2\rho gh/\mu_0}\) верна, число в ответе занижено примерно в \(\pi\) раз.