Через длинный прямой провод, который находится на высоте \(h\) над сверхпроводящей плоскостью, пропустили ток \(I\). Чему равно максимальное магнитное давление на поверхность сверхпроводника? С какой силой действует сверхпроводник на единицу длины провода?
К задаче 11.5.13. Метод изображений: провод \(I\) и его зеркало \(-I\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Над сверхпроводящей плоскостью поле совпадает с полем двух проводов: реального с током \(I\) и зеркального с током \(-I\). На самой плоскости нормальная компонента уничтожается, касательные складываются.
Поле одного провода на расстоянии \(h\) равно \(\mu_0 I/(2\pi h)\). В точке плоскости прямо под проводом оба поля направлены вдоль плоскости и в одну сторону, поэтому
Сила на единицу длины провода — это сила взаимодействия двух проводов, разнесённых на \(2h\), с токами \(I\) и \(-I\). Противоположные токи отталкиваются:
Сверхпроводник толкает провод вверх с этой силой: левитация тонкого провода.
Проверка. Интеграл давления по плоскости должен дать ту же силу \(f\). Поле на плоскости \(B(x)=\mu_0 I h/[\pi(x^2+h^2)]\cdot(\ldots)\); \(\int P\,dx\) и впрямь даёт \(\mu_0 I^2/(4\pi h)\). Размерности: \(P\sim\text{Н/м}^2\), \(f\sim\text{Н/м}\). При \(h\to0\) и давление, и сила расходятся — тонкий провод нельзя класть вплотную.