Длинный соленоид с разомкнутыми концами расположен вдоль постоянного магнитного поля с индукцией \(B=2\) Тл. Число витков на единицу длины соленоида \(n=1000\) м\(^{-1}\). С какой скоростью пролетел сквозь этот соленоид длинный металлический снаряд радиуса \(r=9\) см, если максимальное напряжение, которое появилось на концах соленоида, \(V=100\) кВ? Сопротивлением металла снаряда пренебречь.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Внешнее поле \(B\) пронизывает каждый виток потоком \(BS_{\text{сол}}\). Идеально проводящий снаряд вытесняет поле из своего сечения \(\pi r^2\), поэтому виток, внутри которого сидит снаряд, несёт поток меньше на \(B\pi r^2\).
Когда снаряд вдвигается, за время \(dt\) «захватывается» участок длины \(v\,dt\), то есть \(n v\,dt\) витков. Пока противоположный конец соленоида ещё свободен,
\[ \frac{d\Psi}{dt}=-n v\cdot B\pi r^2. \]Модуль этого напряжения максимален и равен \(V\):
\[ V=n v\pi r^2 B\qquad\Longrightarrow\qquad v=\frac{V}{\pi r^2 n B}. \]Числа: \(V=1{,}00\cdot10^5\) В, \(r=0{,}090\) м, \(n=1{,}00\cdot10^3\) м\(^{-1}\), \(B=2{,}0\) Тл:
\[ v=\frac{10^5}{\pi\cdot0{,}090^2\cdot10^3\cdot2}=\frac{10^5}{\pi\cdot0{,}0081\cdot2\cdot10^3}=\frac{10^5}{50{,}9}\approx1{,}96\cdot10^3\ \text{м/с}\approx2\ \text{км/с}. \]