Савченко · Глава 11. Электромагнитная индукция · § 11.5. Сохранение магнитного потока. Сверхпроводники в магнитном поле

Савченко, задача 11.5.15

Задача 11.5.15форма концов снаряда

Условие

Почему ответ задачи 11.5.14 не зависит от формы концов снаряда?

К задаче 11.5.15. Максимум \(d\Psi/dt\) достигается, когда во вход входит полное сечение.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Напряжение определяется разностью площадей снаряда на входе и на выходе соленоида. Максимум этой разности равен полному сечению цилиндрического тела \(\pi r^2\) — и не зависит от того, как заострён нос.

Пусть \(A_{\text{вх}}\) — площадь проводящего сечения в плоскости входного торца соленоида, \(A_{\text{вых}}\) — в плоскости выходного. Сдвиг снаряда на \(dx=v\,dt\) меняет потокосцепление на

\[ d\Psi=-n B\bigl(A_{\text{вх}}-A_{\text{вых}}\bigr)dx, \] \[ V=nBv\bigl(A_{\text{вх}}-A_{\text{вых}}\bigr). \]

Пока снаряд вдвигается в пустой соленоид, \(A_{\text{вых}}=0\), а \(A_{\text{вх}}\) растёт от нуля до \(\pi r^2\). Как только во входную плоскость приходит цилиндрическая часть тела, \(A_{\text{вх}}=\pi r^2\) — и напряжение достигает значения задачи 11.5.14. Форма носа влияет только на фронт импульса (как быстро \(A_{\text{вх}}\) нарастает), но не на его высоту: высоту ставит миделево сечение.

Даже если нос совсем тупой, \(dA/dz\) на самом кончике велико, однако \(A\) всё равно не превосходит \(\pi r^2\). Значит, \(V_{\text{макс}}=nBv\pi r^2\) от формы концов не зависит.

Проверка. Предел: снаряд-игла (\(\pi r^2\to0\)) даёт \(V\to0\). Снаряд-диск, летящий плашмя, имел бы короткий высокий импульс той же высоты, если его площадь равна \(\pi r^2\). Ответ 11.5.14 «не чувствует» носика именно потому, что мы спрашивали максимум, а не форму сигнала.

ОтветМаксимум \(V\) определяется полным сечением цилиндрической части: \(V_{\text{макс}}=nBv\pi r^2\). Нос влияет лишь на нарастание импульса.

Следующая задача 11.5.16 →