Когда цилиндрический металлический снаряд массы \(m\), длины \(l\) и радиуса \(r\), летящий со скоростью \(v_0\), находился внутри соленоида с числом витков \(N\), длиной \(L\) и радиусом \(R\ll l\), в соленоиде создали ток \(I\), а затем его цепь закоротили. На сколько увеличится скорость снаряда, вылетевшего из соленоида? Сопротивлением металла пренебречь.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пока снаряд внутри, поле \(B_0=\mu_0 NI/L\) живёт только в незанятом объёме \(W-w\), где \(W=\pi R^2 L\) — объём соленоида, \(w=\pi r^2 l\) — объём снаряда. Поток через соленоид
\[ \Phi=B_0(W-w)/L_{\text{геом}}\propto B_0(W-w). \]После вылета поле \(B\) заполняет весь объём \(W\). Поток сохранился:
\[ B_0(W-w)=BW\qquad\Longrightarrow\qquad B=B_0\frac{W-w}{W}. \]Энергия магнитного поля плюс кинетическая:
\[ \frac{B_0^2}{2\mu_0}(W-w)+\frac12 mv_0^2=\frac{B^2}{2\mu_0}W+\frac12 mv^2. \]Подставляем \(B\):
\[ \frac{B_0^2}{2\mu_0}(W-w)-\frac{B_0^2}{2\mu_0}\frac{(W-w)^2}{W}=\frac12 m(v^2-v_0^2), \] \[ \frac{B_0^2}{2\mu_0}(W-w)\frac{w}{W}=\frac12 m(v^2-v_0^2). \]Отсюда
\[ v^2=v_0^2+\frac{B_0^2 w(W-w)}{\mu_0 m W}. \]С \(B_0=\mu_0 NI/L\), \(w=\pi r^2 l\), \(W=\pi R^2 L\):
\[ \Delta v=v-v_0=\sqrt{v_0^2+\pi\mu_0\Bigl(\frac{NI}{L}\Bigr)^2 r^2 l\Bigl[1-\frac{r^2 l}{R^2 L}\Bigr]}-v_0. \]Снаряд выталкивается, как диамагнетик из области поля: сверхпроводящий (идеально проводящий) объём не хочет сидеть в магнитном поле.