На большом расстоянии от длинной сверхпроводящей круглой трубы радиуса \(r\) соосно с ней расположена короткозамкнутая сверхпроводящая катушка с током \(I\). Число витков в катушке \(N\), длина катушки \(l\gg r\), радиус \(r/2\), масса катушки \(m\). Какую скорость нужно сообщить катушке, чтобы она пролетела сквозь закреплённую трубу?
К задаче 11.5.17. Внутри трубы индуктивность катушки падает — магнитный барьер.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
И катушка, и труба сверхпроводящие: поток катушки заморожен, суммарный поток через трубу равен нулю. Внутри трубы индуктивность катушки меньше (задача 11.5.11), ток растёт, магнитная энергия растёт. Разница энергий — высота барьера, который надо взять с разгона.
Чтобы проскочить, нужно \(\frac12 mv^2\ge\Delta U\):
\[ v=NI r\sqrt{\frac{\pi\mu_0}{12 lm}}. \]
(Ровно на пороге катушка остановится в самом тесном месте и «зависнет»; любая добавка пронесёт её на ту сторону, где энергия снова спадёт до \(U_0\).)
Проверка. Размерность: \(NI r\sqrt{\mu_0/(lm)}\sim\text{А}\cdot\text{м}\cdot\sqrt{\text{Гн}/(\text{м}\cdot\text{кг})}=\sqrt{\text{Дж}/\text{кг}}=\text{м/с}\). Если трубы нет (\(R\to\infty\)), \(L=L_0\), барьер нулевой — лети с любой скоростью. Чем больше ток и число витков, тем злее отталкивание.