Длинная металлическая трубка, имеющая участок радиуса \(r_1\) и участок радиуса \(r_2\), помещена вдоль однородного магнитного поля индукции \(B\). На сколько изменится энергия сверхпроводящего снаряда радиуса \(r_0\) и длины \(l\gg r_1,r_2\), летящего по оси трубки, при пересечении им границы между участками трубки различного радиуса? Влиянием сопротивления металла на процесс взаимодействия снаряда с трубкой пренебречь.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
До прихода снаряда поток через сечение трубки радиуса \(r_1\) равен \(\pi r_1^2 B\). Когда снаряд оказался в этом сечении, поток идёт только через кольцевой зазор:
\[ \pi r_1^2 B=\pi(r_1^2-r_0^2)B_1\qquad\Longrightarrow\qquad B_1=B\frac{r_1^2}{r_1^2-r_0^2}. \]Аналогично \(B_2=B r_2^2/(r_2^2-r_0^2)\). Считаем энергию аккуратно. Пока снаряд занимает участок длины \(l\), там вместо энергии пустой трубки \((B^2/2\mu_0)\pi r^2 l\) сидит энергия сжатого поля в зазоре; когда снаряд уходит, участок возвращается к энергии пустой трубки. Значит, со снарядом связана добавка
\[ U(r)=\frac{B_{\text{лок}}^2}{2\mu_0}\,\pi(r^2-r_0^2)l-\frac{B^2}{2\mu_0}\,\pi r^2 l =\frac{\pi l B^2}{2\mu_0}\cdot\frac{r_0^2 r^2}{r^2-r_0^2}. \]Изменение кинетической энергии равно минус изменению магнитной:
\[ \Delta K=U(r_1)-U(r_2)=\frac{\pi l B^2 r_0^2}{2\mu_0}\left[\frac{r_1^2}{r_1^2-r_0^2}-\frac{r_2^2}{r_2^2-r_0^2}\right]. \]Если \(r_2>r_1\), зазор шире, поле слабее, \(U(r_2)<U(r_1)\) — снаряд разгоняется, вылетая в широкую часть (диамагнетик выталкивается туда, где поле слабее). В «Ответах» книги напечатано \((lB^2/2\mu_0)[r_1^4/(r_1^2-r_0^2)-r_2^4/(r_2^2-r_0^2)]\): там пропущен множитель \(\pi\) (по смыслу энергии \(B^2/2\mu_0\) на объём он необходим), а в скобке не вычтены энергии пустых участков трубки — остаётся лишнее слагаемое \(\pi lB^2(r_1^2-r_2^2)/(2\mu_0)\), которое не исчезает даже для исчезающе тонкого снаряда.