Савченко · Глава 11. Электромагнитная индукция · § 11.5. Сохранение магнитного потока. Сверхпроводники в магнитном поле

Савченко, задача 11.5.21

Задача 11.5.21перераспределитель, разные массы

Условие

Решите задачу 11.5.20 в случае, если масса первого снаряда \(m_1\), а второго \(m_2\), а скорость снарядов равна соответственно \(v_1\) и \(v_2\) (\(v_1>v_2\)).

₁, v₁ m₂, v₂

К задаче 11.5.21. То же магнитное «столкновение», но массы разные — формулы упругого удара.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Физика та же, что в 11.5.20: магнитный барьер высоты \(W\). Сравниваем с ним кинетическую энергию относительного движения. Если барьер не взят — обычный упругий лобовой удар двух тел; если взят — скорости не меняются.

Приведённая масса \(\mu=m_1 m_2/(m_1+m_2)\), относительная скорость \(v_1-v_2\). Энергия сближения

\[ K_{\text{отн}}=\frac12\mu(v_1-v_2)^2=\frac{(v_1-v_2)^2}{2(1/m_1+1/m_2)}. \]

Барьер тот же по происхождению, что в предыдущей задаче (геометрия каналов не изменилась). Удобно записать критерий в виде, принятом в книге:

если

\[ (v_1-v_2)^2\Bigl(\frac1{m_1}+\frac1{m_2}\Bigr)>\frac{B^2 l S s^2}{2\mu_0(2S-s)(S-s)}, \]

снаряды проскакивают, \(v'_1=v_1\), \(v'_2=v_2\);

если неравенство противоположное — происходит упругий обмен импульсом. Сохранение импульса и энергии дают стандартные формулы

\[ v'_1=\frac{2m_2 v_2+(m_1-m_2)v_1}{m_1+m_2},\qquad v'_2=\frac{2m_1 v_1+(m_2-m_1)v_2}{m_1+m_2}. \]

(В одном из неравенств книги потерян множитель \(l\) — длина снаряда, она задаёт объём, в котором сжато поле, и обязана стоять в энергии.)

Проверка. При \(m_1=m_2=m\), \(v_1=3v\), \(v_2=v\) формулы удара дают \(v'_1=v\), \(v'_2=3v\) — возврат к 11.5.20. При \(m_2\to\infty\) (второй снаряд намертво стоит) \(v'_1=-v_1\), \(v'_2=0\): лёгкий отскакивает от стенки, как и должен.

Ответ\(v'_1=v_1\), \(v'_2=v_2\), если \((v_1-v_2)^2(1/m_1+1/m_2)>B^2 l Ss^2/[2\mu_0(2S-s)(S-s)]\); иначе \(v'_1=[2m_2v_2+(m_1-m_2)v_1]/(m_1+m_2)\), \(v'_2=[2m_1v_1+(m_2-m_1)v_2]/(m_1+m_2)\).

Следующая задача 11.5.22 →