Медное кольцо радиуса \(r\) и массы \(m\) висит на нити, совершая малые крутильные колебания с периодом \(T\). Индуктивность кольца \(L\). Как изменится период колебаний кольца, если его поместить в горизонтальное однородное магнитное поле индукции \(B\), параллельное плоскости кольца в положении равновесия? Момент инерции кольца относительно оси, проходящей по диаметру, равен \(J\). Сопротивлением кольца пренебречь.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Без поля \(T=2\pi\sqrt{J/\kappa}\), откуда жёсткость нити \(\kappa=4\pi^2 J/T^2\).
В равновесии плоскость кольца параллельна \(\mathbf{B}\), поток нулевой. Поворот на малый угол \(\varphi\) вокруг вертикального диаметра даёт
\[ \Phi_{\text{внеш}}=B\cdot\pi r^2\cdot\sin\varphi\approx B\pi r^2\,\varphi. \]Сопротивление пренебрегаем — поток заморожен (изначально нуль):
\[ LI+B\pi r^2\varphi=0\qquad\Longrightarrow\qquad I=-\frac{B\pi r^2}{L}\varphi. \]Магнитная энергия
\[ U_m=\frac{LI^2}{2}=\frac{B^2\pi^2 r^4}{2L}\varphi^2, \]то есть добавка к жёсткости \(\kappa_m=B^2\pi^2 r^4/L\). Полная жёсткость \(\kappa+\kappa_m\), новый период
\[ T'=2\pi\sqrt{\frac{J}{\kappa+\kappa_m}}=T\Big/\sqrt{1+\frac{B^2\pi^2 r^4}{L\kappa}}. \]Подставляем \(\kappa=4\pi^2 J/T^2\):
\[ \frac{B^2\pi^2 r^4}{L\kappa}=\frac{B^2 r^4 T^2}{4LJ},\qquad T'=\frac{T}{\sqrt{1+B^2 r^4 T^2/(4LJ)}}. \]Период уменьшился: магнитное поле делает систему жёстче.