Сверхпроводящая коробка разделена на две равные части также сверхпроводящей перемычкой толщины \(d\). Размеры коробки показаны на рисунке (\(h\ll a,l\)). По коробке в направлении, перпендикулярном перемычке, циркулирует ток, линейная плотность которого \(i\). С какой частотой будет колебаться перемычка, если ей сообщить небольшую скорость в направлении, показанном на рисунке? Масса перемычки \(m\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Ток с линейной плотностью \(i\) создаёт в каждой половине поле \(B_0=\mu_0 i\) (как между обкладками «магнитного конденсатора»). Равновесная ширина половины \(x_0=(l-d)/2\). Поток через половину \(\Phi=B_0\cdot x_0\cdot h\) заморожен, поэтому при ширине \(x\)
\[ B_L=B_0\frac{x_0}{x},\qquad B_R=B_0\frac{x_0}{l-d-x}. \]Магнитная энергия
\[ U=\frac{B_L^2}{2\mu_0}ahx+\frac{B_R^2}{2\mu_0}ah(l-d-x)=\frac{B_0^2 x_0^2 ah}{2\mu_0}\left(\frac1x+\frac1{l-d-x}\right). \]Вторая производная в точке \(x=x_0\):
\[ U''(x_0)=\frac{2B_0^2 ah}{\mu_0 x_0}=\frac{4B_0^2 ah}{\mu_0(l-d)}. \]Это и есть жёсткость. С \(B_0=\mu_0 i\)
\[ \omega=\sqrt{\frac{U''}{m}}=2i\sqrt{\frac{\mu_0 ah}{m(l-d)}}. \]Колебания гармонические при малых смещениях: разность давлений \(B^2/2\mu_0\) линейна по \(\xi=x-x_0\).