Между двумя сверхпроводящими шинами с постоянной скоростью \(v_0\) движется поршень по направлению к перемычке массы \(m\), образуя сверхпроводящую цепь. Найдите максимальную скорость перемычки, если в начальный момент она покоилась, ток в цепи был равен \(I_0\), а расстояние между поршнем и перемычкой было равно \(x\). Индуктивность на единицу длины шин \(L\). Трением пренебречь.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть \(y\) — расстояние между поршнем и перемычкой, \(s\) — координата перемычки, поршень едет как \(v_0 t\). Тогда \(y=s-v_0 t\), \(\dot y=\dot s-v_0\). Поток
\[ LyI=LxI_0\qquad\Longrightarrow\qquad I=I_0\frac{x}{y}. \]Сила на перемычку \(m\ddot s=\frac12 L I^2=\frac12 L I_0^2 x^2/y^2\). Но \(\ddot s=\ddot y\), поэтому
\[ m\ddot y=\frac{L I_0^2 x^2}{2y^2}. \]Умножаем на \(\dot y\) и интегрируем. В начальный момент \(y=x\), \(\dot y=-v_0\):
\[ \frac m2\dot y^2+\frac{L I_0^2 x^2}{2y}=\frac m2 v_0^2+\frac{L I_0^2 x}{2}, \] \[ \dot y^2=v_0^2+\frac{L I_0^2 x}{m}\Bigl(1-\frac{x}{y}\Bigr). \]Скорость перемычки \(\dot s=\dot y+v_0\). После сближения (минимум \(y\)) перемычка уходит вперёд, \(y\to\infty\), и
\[ \dot y\to\sqrt{v_0^2+\frac{Lx I_0^2}{m}},\qquad v_{\text{макс}}=v_0+\sqrt{v_0^2+\frac{Lx I_0^2}{m}}=v_0\Bigl(1+\sqrt{1+\frac{Lx I_0^2}{mv_0^2}}\Bigr). \]