Внутри проводящей цилиндрической оболочки создано магнитное поле. Оболочке сообщается скорость \(v\) таким образом, что она начинает сжиматься к оси, не теряя симметрии. Найдите максимальную индукцию магнитного поля, которая может быть получена таким способом, если начальная индукция \(B_0=10\) Тл, \(v=3\) км/с, начальный радиус оболочки \(r_0=20\) см, её толщина \(\Delta=0{,}5\) см, плотность материала оболочки \(\rho=8{,}9\) г/см\(^3\). Найдите максимальное магнитное давление, действующее на оболочку. Электрическим сопротивлением оболочки пренебречь.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
На единицу длины: масса оболочки \(2\pi r_0\Delta\rho\), начальная кинетическая энергия \(\pi r_0\Delta\rho\, v^2\). Магнитная энергия на единицу длины \(B^2\cdot\pi r^2/(2\mu_0)\). Поток \(Br^2=B_0 r_0^2\). Закон сохранения
\[ \frac{B^2\pi r^2}{2\mu_0}=\frac{B_0^2\pi r_0^2}{2\mu_0}+\pi r_0\Delta\rho\, v^2. \]Умножаем на \(2\mu_0/\pi\) и заменяем \(B^2 r^2=B\cdot B_0 r_0^2\):
\[ B\cdot B_0 r_0^2=B_0^2 r_0^2+2\mu_0 r_0\Delta\rho v^2, \] \[ B=B_0+\frac{2\mu_0\rho v^2\Delta}{B_0 r_0}. \]Числа: \(B_0=10\) Тл, \(v=3\cdot10^3\) м/с, \(r_0=0{,}20\) м, \(\Delta=5\cdot10^{-3}\) м, \(\rho=8{,}9\cdot10^3\) кг/м\(^3\):
\[ \frac{2\mu_0\rho v^2\Delta}{B_0 r_0}=\frac{2\cdot4\pi\cdot10^{-7}\cdot8{,}9\cdot10^3\cdot9\cdot10^6\cdot5\cdot10^{-3}}{10\cdot0{,}20}\approx5{,}0\cdot10^2\ \text{Тл}. \] \[ B\approx10+500=510\ \text{Тл}\approx500\ \text{Тл}. \]Максимальное давление
\[ P=\frac{B^2}{2\mu_0}\approx\frac{(500)^2}{2\cdot4\pi\cdot10^{-7}}\approx1\cdot10^{11}\ \text{Па} \](миллион атмосфер — оболочка к этому моменту уже не столько «летит», сколько пружинит о собственное поле).