Внешнее магнитное поле индукции \(B\), в котором находится длинная идеально проводящая трубка, полностью стенками трубки не экранируется из-за того, что масса электронов конечна. Поле частично проникает внутрь трубки. Ось трубки направлена вдоль магнитного поля, её радиус \(r\) много больше толщины стенок \(h\). Число электронов проводимости в единице объёма материала трубки \(n_e\). Рассчитайте индукцию поля, проникшего внутрь трубки, в случае \(B=10\) Тл, \(r=1\) мм, \(h=0{,}1\) мм, \(n_e=10^{20}\) см\(^{-3}\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть \(B'\) — поле, создаваемое током в стенке, тогда внутри трубки индукция равна \(B-B'\). При нарастании внешнего поля в стенке есть вихревое электрическое поле. По закону индукции на окружности радиуса \(r\)
\[ 2\pi r\cdot E=\pi r^2\frac{d}{dt}(B-B')\qquad\Longrightarrow\qquad E=\frac r2\frac{d}{dt}(B-B'). \]Уравнение движения электрона (заряд \(e>0\), пишем для модуля):
\[ m_e\frac{dv}{dt}=eE=\frac{er}{2}\frac{d}{dt}(B-B')\qquad\Longrightarrow\qquad m_e v=\frac{er}{2}(B-B'). \]Линейная плотность тока в стенке \(j=en_e v h\), и она создаёт \(B'=\mu_0 j\):
\[ B'=\mu_0 e n_e h\cdot\frac{er}{2m_e}(B-B')=\frac{\mu_0 e^2 n_e h r}{2m_e}(B-B'). \]Отсюда
\[ B-B'=\frac{m_e B}{m_e+e^2 r\mu_0 n_e h/2}. \]Числа. \(n_e=10^{20}\) см\(^{-3}=10^{26}\) м\(^{-3}\), \(r=10^{-3}\) м, \(h=10^{-4}\) м, \(B=10\) Тл:
\[ \frac{e^2 r\mu_0 n_e h}{2m_e}\approx\frac{(1{,}6\cdot10^{-19})^2\cdot10^{-3}\cdot1{,}26\cdot10^{-6}\cdot10^{26}\cdot10^{-4}}{2\cdot9{,}1\cdot10^{-31}}\approx1{,}8\cdot10^5, \]то есть знаменатель почти целиком из второго слагаемого, и
\[ B-B'\approx\frac{m_e B}{e^2 r\mu_0 n_e h/2}=5{,}7\cdot10^{-5}\ \text{Тл}. \]Экранировка почти полная: внутрь пролезает лишь пять стотысячных тесла.